Question

已知函數(shù)f(x)＝ln x＋mx²(m∈R)．

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若A，B是函數(shù)f(x)圖像上不同的兩點(diǎn)，且直線AB的斜率恒大于1，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解：(1)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，

f′(x)＝＋2mx＝.

當(dāng)m≥0時(shí)，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．

當(dāng)m<0時(shí)，由f′(x)＝0得x＝.

當(dāng)x∈時(shí)，f′(x)>0，f(x)在上單調(diào)遞增；

當(dāng)x∈時(shí)，f′(x)<0，f(x)在上單調(diào)遞減．

綜上所述，當(dāng)m≥0時(shí)，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；

當(dāng)m<0時(shí)，f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

(2)依題意，設(shè)A(a，f(a))，B(b，f(b))，不妨設(shè)a>b>0，

則k_AB＝>1恒成立，

即f(a)－f(b)>a－b恒成立，

即f(a)－a>f(b)－b恒成立，

令g(x)＝f(x)－x＝ln x＋mx²－x，

則g(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，

所以g′(x)＝＋2mx－1＝≥0對(duì)x∈(0，＋∞)恒成立，

所以2mx²－x＋1≥0對(duì)x∈(0，＋∞)恒成立，

即2m≥－＋＝－²＋對(duì)x∈(0，＋∞)恒成立，因此m≥.

故實(shí)數(shù)m的取值范圍為.