【題目】已知函數(shù)f(x)=ln(2ax+1)+ ﹣x2﹣2ax(a∈R).
(1)若x=2為f(x)的極值點,求實數(shù)a的值;
(2)若y=f(x)在[3,+∞)上為增函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍;
(3)當(dāng)a=﹣ 時,方程f(1﹣x)= 有實根,求實數(shù)b的最大值.

【答案】
(1)解: =

因為x=2為f(x)的極值點,所以f'(2)=0

,解得a=0.

又當(dāng)a=0時,f'(x)=x(x﹣2),從而x=2為f(x)的極值點成立


(2)解:因為f(x)在區(qū)間[3,+∞)上為增函數(shù),

所以 在區(qū)間[3,+∞)上恒成立.

①當(dāng)a=0時,f'(x)=x(x﹣2)≥0在[3,+∞)上恒成立,所以f(x)在[3,+∞)上為增函數(shù),故a=0符合題意.

②當(dāng)a≠0時,由函數(shù)f(x)的定義域可知,必須有2ax+1>0對x≥3恒成立,故只能a>0,

所以2ax2+(1﹣4a)x﹣(4a2+2)≥0對x∈[3,+∞)上恒成立.

令g(x)=2ax2+(1﹣4a)x﹣(4a2+2),其對稱軸為 ,

因為a>0所以 ,從而g(x)≥0在[3,+∞)上恒成立,只要g(3)≥0即可,

因為g(3)=﹣4a2+6a+1≥0,

解得

因為a>0,所以

由①可得,a=0時,符合題意;

綜上所述,a的取值范圍為[0, ]


(3)解:若 時,方程 x>0 可化為,

問題轉(zhuǎn)化為b=xlnx﹣x(1﹣x)2+x(1﹣x)=xlnx+x2﹣x3在(0,+∞)上有解,

即求函數(shù)g(x)=xlnx+x2﹣x3的值域

以下給出兩種求函數(shù)g(x)值域的方法:

方法1:因為g(x)=x(lnx+x﹣x2),令h(x)=lnx+x﹣x2(x>0),

,

所以當(dāng)0<x<1,h′(x)>0,從而h(x)在(0,1)上為增函數(shù),

當(dāng)x>1,h′(x)<0,從而h(x')在(1,+∞上為減函數(shù)

因此h(x)≤h(1)=0.

而x>1,故b=xh(x)≤0,

因此當(dāng)x=1時,b取得最大值0.

方法2:因為g(x)=x(lnx+x﹣x2),所以g'(x)=lnx+1+2x﹣3x2

設(shè)p(x)=lnx+1+2x﹣3x2,則

當(dāng) 時,p'(x)>0,所以p(x)在 上單調(diào)遞增;

當(dāng) 時,p'(x)<0,所以p(x)在 上單調(diào)遞減;

因為p(1)=0,故必有 ,又

因此必存在實數(shù) 使得g'(x0)=0,

∴當(dāng)0<x<x0時,g′(x)<0,所以g(x)在(0,x0)上單調(diào)遞減;

當(dāng)x0<x<1,g′(x)>0,所以,g(x)在(x0,1)上單調(diào)遞增;

又因為 ,

當(dāng)x→0時,lnx+ <0,則g(x)<0,又g(1)=0.

因此當(dāng)x=1時,b取得最大值0


【解析】(1)先對函數(shù)求導(dǎo),由x=2為f(x)的極值點,可得f'(2)=0,代入可求a(2)由題意可得 在區(qū)間[3,+∞)上恒成立,①當(dāng)a=0時,容易檢驗是否符合題意,②當(dāng)a≠0時,由題意可得必須有2ax+1>0對x≥3恒成立,則a>0,從而2ax2+(1﹣4a)x﹣(4a2+2)≥0對x∈[3,+∞0上恒成立.考查函數(shù)g(x)=2ax2+(1﹣4a)x﹣(4a2+2),結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求(3)由題意可得 .問題轉(zhuǎn)化為b=xlnx﹣x(1﹣x)2+x(1﹣x)=xlnx+x2﹣x3在(0,+∞)上有解,即求函數(shù)g(x)=xlnx+x2﹣x3的值域.方法1:構(gòu)造函數(shù)g(x)=x(lnx+x﹣x2),令h(x)=lnx+x﹣x2(x>0),對函數(shù)h(x)求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)h(x)的單調(diào)性,進而可求方法2:對函數(shù)g(x)=x(lnx+x﹣x2)求導(dǎo)可得g'(x)=lnx+1+2x﹣3x2 . 由導(dǎo)數(shù)知識研究函數(shù)p(x)=lnx+1+2x﹣3x2 , 的單調(diào)性可求函數(shù)g(x)的零點,即g'(x0)=0,從而可得函數(shù)g(x)的單調(diào)性,結(jié)合 ,可知x→0時,lnx+ <0,則g(x)<0,又g(1)=0可求b的最大值

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某手機廠商推出一款6吋大屏手機,現(xiàn)對500名該手機用戶(200名女性,300名男性)進行調(diào)查,對手機進行評分,評分的頻數(shù)分布表如下:

女性用戶

分值區(qū)間

[50,60)

[60,70)

[70,80)

[80,90)

[90,100]

頻數(shù)

20

40

80

50

10

男性用戶

分值區(qū)間

[50,60)

[60,70)

[70,80)

[80,90)

[90,100]

頻數(shù)

45

75

90

60

30

(Ⅰ)完成下列頻率分布直方圖,并指出女性用戶和男性用戶哪組評分更穩(wěn)定(不計算具體值,給出結(jié)論即可);

(Ⅱ)根據(jù)評分的不同,運用分層抽樣從男性用戶中抽取20名用戶,在這20名用戶中,從評分不低于80分的用戶中任意抽取3名用戶,求3名用戶中評分小于90分的人數(shù)的分布列和期望.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在如圖所示的幾何體中,四邊形是邊長為2的菱形,平面,,

1)證明:平面平面;

2)求二面角的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某屆奧運會上,中國隊以26金18銀26銅的成績稱金牌榜第三、獎牌榜第二,某校體育愛好者在高三 年級一班至六班進行了“本屆奧運會中國隊表現(xiàn)”的滿意度調(diào)查(結(jié)果只有“滿意”和“不滿意”兩種),從被調(diào)查的學(xué)生中隨機抽取了50人,具體的調(diào)查結(jié)果如表:

班號

一班

二班

三班

四班

五班

六班

頻數(shù)

5

9

11

9

7

9

滿意人數(shù)

4

7

8

5

6

6


(1)在高三年級全體學(xué)生中隨機抽取一名學(xué)生,由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)估計該生持滿意態(tài)度的概率;
(2)若從一班至二班的調(diào)查對象中隨機選取4人進行追蹤調(diào)查,記選中的4人中對“本屆奧運會中國隊表現(xiàn)”不滿意的人數(shù)為ξ,求隨機變量ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=|x﹣a|+2|x+b|(a>0,b>0)的最小值為1.
(1)求a+b的值;
(2)若 恒成立,求實數(shù)m的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=|x﹣a|+2|x+b|(a>0,b>0)的最小值為1.
(1)求a+b的值;
(2)若 恒成立,求實數(shù)m的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設(shè),農(nóng)村的經(jīng)濟收入增加了一倍.實現(xiàn)翻番.為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟收入變化情況,統(tǒng)計了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟收入構(gòu)成比例.得到如下餅圖:

則下面結(jié)論中不正確的是

A. 新農(nóng)村建設(shè)后,種植收入減少

B. 新農(nóng)村建設(shè)后,其他收入增加了一倍以上

C. 新農(nóng)村建設(shè)后,養(yǎng)殖收入增加了一倍

D. 新農(nóng)村建設(shè)后,養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟收入的一半

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù),為自然對數(shù)的底數(shù),).

(1)判斷曲線在點處的切線與曲線的公共點個數(shù);

(2)當(dāng)時,若函數(shù)有兩個零點,求的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=sin(2ωx﹣ )(ω>0)的最小正周期為4π,則(
A.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點( ,0)對稱
B.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x= 對稱
C.函數(shù)f(x)的圖象在( ,π)上單調(diào)遞減
D.函數(shù)f(x)的圖象在( ,π)上單調(diào)遞增

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案