Question

4．已知定義域為R的函數(shù)$f（x）=\frac{{1-{3^x}}}{{a+{3^{x+1}}}}$
（1）若a=1，求證函數(shù)f（x）不是奇函數(shù)；
（2）若此函數(shù)是奇函數(shù)
①判斷并證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
②求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）若a=1，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷函數(shù)f（x）不是奇函數(shù)；
（2）若此函數(shù)是奇函數(shù)，建立方程關(guān)系即可求出a的值，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
②利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合分式函數(shù)的性質(zhì)即可求函數(shù)f（x）的值域．

解答 解：（1）若a=1，則f（x）=$\frac{1-{3}^{x}}{1+{3}^{x+1}}$，則f（1）=$\frac{1-3}{1+9}=\frac{-2}{10}$=-$\frac{1}{5}$，
f（-1）=$\frac{1-\frac{1}{3}}{1+1}=\frac{\frac{2}{3}}{2}$=$\frac{1}{3}$，
則f（-1）≠-f（1），則函數(shù)f（x）不是奇函數(shù)；
（2）①若此函數(shù)是奇函數(shù)，
則f（-x）=-f（x），即$\frac{1-{3}^{-x}}{a+{3}^{-x+1}}$=-$\frac{1-{3}^{x}}{a+{3}^{x+1}}$，
即$\frac{{3}^{x}-1}{a•{3}^{x}+3}$=-$\frac{1-{3}^{x}}{a+{3}^{x+1}}$，
則a•3^x+3=a+3•3^x，
解得a=3，
此時f（x）=$\frac{1-{3}^{x}}{3+{3}^{x+1}}$=$\frac{2-（{3}^{x}+1）}{3（{3}^{x}+1）}$=$-\frac{1}{3}$+$\frac{2}{3}•$$\frac{1}{{3}^{x}+1}$，
∵y=3^x為增函數(shù)，
∴y=3^x+1為增函數(shù)，
則y=$\frac{2}{3}•$$\frac{1}{{3}^{x}+1}$為減函數(shù)，
即f（x）=$-\frac{1}{3}$+$\frac{2}{3}•$$\frac{1}{{3}^{x}+1}$為減函數(shù)；
②∵3^x＞0，
∴3^x+1＞1，
則0＜$\frac{1}{{3}^{x}+1}$＜1，
即0＜$\frac{2}{3}•$$\frac{1}{{3}^{x}+1}$＜$\frac{2}{3}$，
則$-\frac{1}{3}$＜$-\frac{1}{3}$+$\frac{2}{3}•$$\frac{1}{{3}^{x}+1}$＜$\frac{1}{3}$，
即，$-\frac{1}{3}$＜f（x）＜$\frac{1}{3}$，
則函數(shù)f（x）的值域為（$-\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$）．

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷和應(yīng)用，利用定義法是解決本題的關(guān)鍵．利用分子常數(shù)化是求值域的基本方法．