如圖，已知在正方體ABCD- A1B1C1D1中，E為AB的中點。
（1）求直線B1C與DE所成角的余弦值；
（2）求證：平面EB1D⊥平面B1CD；
（3）求二面角E-B1C-D的余弦值。
解：（1）如圖，連接A，D，則由A1D∥B1C知，B1C與DE所成的角即為A1D與DE所成的角，
連接A1E，設正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，則
∴
∴直線B1C與DE所成角的余弦值是。
（2）取B1C的中點F，B1D的中點G，連接BF，EG，GF
∵CD⊥平面BCC1B1，且BF平面BCC1B1，
∴CD⊥BF
又∵BF⊥B1C，CD∩B1C=C，
∴BF⊥平面B1CD
又∵
∴
∴四邊形BFGE是平行四邊形，
∴BF∥GE，
∴GE⊥平面B1CD
∵GE平面EB1D，
∴平面EB1D⊥平面B1CD。
（2）連接EF
∵CD⊥B1C，GF∥CD，
∴GF⊥B1C
又∵GE⊥平面B1CD，
∴EF⊥B1C，
∴∠EFG是二面角E-B1C-D的平面角，
設正方體的棱長為a，則在△EFC中，
∴
∴二面角E-B1C-D的余弦值。
練習冊系列答案
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3
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（2）求側面A1B與底面所成二面角的大�。�
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