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【題目】已知函數在處的切線與直線平行.

（1）求實數的值；

（2）若函數在上恰有兩個零點，求實數的取值范圍.

（3）記函數，設是函數的兩個極值點，若，且恒成立，求實數的最大值.

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）利用導數和切線的斜率列方程，解方程求得的值.

（2）由（1）求得的解析式.構造函數，利用導數研究的單調性，以及極值，結合在上恰有兩個零點列不等式組，解不等式組求得的取值范圍.

（3）利用導數，結合根與系數關系，求得兩個極值點的關系式，將表示為只含的表達式，由此利用導數求得的最小值，由此求得的取值范圍.

（1），

∵函數在 處的切線與直線平行，

∴，解得；

（2）由（1）得，

∴函數，

令，則，

令得，，列表得：

1

（1，2）

2

0

0

單調遞減

極小值

單調遞增

∴當時，的極小值為，又，

∵函數在上恰有兩個零點

∴即，解得.

（3），∴，

令得，

∵，是的極值點，∴，，∴，

∵，∴解得：，

∴，

令，

則，∴在上單調遞減；

∴當時，∴的最大值為.

練習冊系列答案
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