Question

已知y=f（x）是定義在（-∞，+∞）上的偶函數(shù)，當x≥0時，f（x）=x²-2x-3，
（1）用分段函數(shù)形式寫出y=f（x）的解析式；
（2）用對稱性畫出函數(shù)的圖象；
（3）寫出y=f（x）的單調區(qū)間；
（4）求出函數(shù)y=f（x）的最值．

Answer 1

分析：（1）只需求出當x＜0時，f（x）表達式即可．當x＜0時，-x＞0，可求出f（-x），再利用偶函數(shù)性質得到f（x）與f（-x）的關系，從而得到答案；
（2）偶函數(shù)圖象關于y軸對稱，只作出y軸一側的圖象，再沿y軸對折即可；
（3）根據(jù)（2）中的函數(shù)圖象寫出即可；
（4）分別求出x≥0及x＜0時的函數(shù)最值，進行比較即可．

解答：解：（1）當x＜0時，-x＞0，f（-x）=（-x）²-2（-x）-3=x²+2x-3，
又函數(shù)f（x）是R上的偶函數(shù)，所以f（x）=f（-x）=x²+2x-3，
 所以y=f（x）=

x2-2x-3，(x≥0) x2+2x-3，(x＜0)

；
（2）先作出x≥0時的部分                                               
圖象，再利用偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱作出x＜0的部分圖象，如圖所示：；
（3）由函數(shù)f（x）的圖象可得：減區(qū)間是（-∞，-1]，[0，1]；增區(qū)間是[-1，0]，[1，+∞）；
（4）當x≥0時，f（x）=（x-1）²-4≥-4；當x＜0時，f（x）=（x+1）²-4≥-4，
所以f（x）的最小值是-4，沒有最大值．

點評：本題綜合考查了函數(shù)的奇偶性、單調性及奇偶函數(shù)圖象的對稱特征，有關概念、基本方法是解決該類題目的基礎．