Question

某市出租車的起步價為6元，行駛路程不超過3 km時，租車費為6元，若行駛路程超過3 km，則按每超出1 km(不足1 km也按1 km計程)收費3元計費．

設出租車一天行駛的路程數ξ(按整km數計算，不足1 km的自動計為1 km)是一個隨機變量，則其收費也是一個隨機變量．已知一個司機在某個月每次出車都超過了3 km，且一天的總路程數可能的取值是200、220、240、260、280、300(km)，它們出現的概率依次是0.12、0.18、0.20、0.20、100a²＋3a、4a．

(1)求這一個月中一天行駛路程ξ的分布列，并求ξ的數學期望和方差；

(2)求這一個月中一天所收租車費η的數學期望和方差．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由概率分布的性質有0.12＋0.18＋0.20＋0.20＋100a2＋3a＋4a＝1.……1分 　　∴100a2＋7a＝0.3，∴1 000a2＋70a－3＝0，a＝，或a＝－(舍去)，即a＝0.03，……2分 　　∴100a2＋3a＝0.18，4a＝0.12，∴ξ的分布列為 　　8分 　　∴Eξ＝200×0.12＋220×0.18＋240×0.20＋260×0.20＋280×0.18＋300×0.12＝250(km) 　　Dξ＝502×0.12＋302×0.18＋102×0.20＋102×0.20＋302×0.18＋502×0.12＝964;……10分 　　(2)由已知η＝3ξ－3(ξ＞3，ξ∈Z)，∴Eη＝E(3ξ－3)＝3Eξ－3＝3×250－3＝747(元) 　　Dη＝D(3ξ－3)＝32Dξ＝8 676．