Question

設(shè)橢圓=1（a＞b＞0）過點(diǎn)，且左焦點(diǎn)為
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）當(dāng)過點(diǎn)P（4，1）的動直線l與橢圓C相交與兩不同點(diǎn)A，B時(shí)，在線段AB上取點(diǎn)Q，滿足•=•，證明：點(diǎn)Q總在某定直線上．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）通過橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)知c=，且有a²=b²+c²，又點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足橢圓方程，則列方程組解之即可；
（Ⅱ）欲證點(diǎn)Q總在某定直線上，所以先設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為變量（x，y），點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為參數(shù)（x₁，y₁）、（x₂，y₂），然后根據(jù)已知條件可變形得，設(shè)其比值為λ則有、，此時(shí)利用定比分點(diǎn)定理可得A、B、P三點(diǎn)橫坐標(biāo)關(guān)系及縱坐標(biāo)關(guān)系，同時(shí)可得A、B、Q三點(diǎn)橫坐標(biāo)關(guān)系及縱坐標(biāo)關(guān)系，又因?yàn)辄c(diǎn)A、B的坐標(biāo)滿足橢圓方程，則有x₁²+2y₁²=4，x₂²+2y₂²=4，再利用已得關(guān)系式構(gòu)造x₁²+2y₁²與x₂²+2y₂²則可整體替換為4，同時(shí)消去參數(shù)λ，最后得到變量x、y的關(guān)系式，則問題得證．
解答：解：（Ⅰ）由題意得，
解得a²=4，b²=2，
所以橢圓C的方程為．

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)Q、A、B的坐標(biāo)分別為（x，y），（x₁，y₁），（x₂，y₂）．
由題設(shè)知，，，均不為零，記，則λ＞0且λ≠1
又A，P，B，Q四點(diǎn)共線，從而
于是，，，
從而①，②，
又點(diǎn)A、B在橢圓C上，即x₁²+2y₁²=4 ③，x₂²+2y₂²=4 ④，
①+②×2并結(jié)合③、④得4x+2y=4，
即點(diǎn)Q（x，y）總在定直線2x+y-2=0上．
點(diǎn)評：本題綜合考查橢圓性質(zhì)與定比分點(diǎn)定理，同時(shí)考查構(gòu)造消元處理方程組的能力．