(2013•棗莊一模)已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),⊙O:x2+y2=b2,點A,F(xiàn)分別是橢圓C的左頂點和左焦點,點P是⊙O上的動點.
(1)若P(-1,
3
),PA是⊙O的切線,求橢圓C的方程;
(2)是否存在這樣的橢圓C,使得
PA
PF
是常數(shù)?如果存在,求C的離心率,如果不存在,說明理由.
分析:(1)由P(-1,
3
)在⊙O:x2+y2=b2上可求b,由PA是⊙O的切線可得,PA⊥OP即
OP
AP
=0,根據(jù)向量的數(shù)量積可求b,進而可求橢圓C的方程
(2)設F(c,0),由c2=a2-b2可求c,P(x1,y1),要使得
PA
PF
是常數(shù),則有(x1+a)2+y12=λ[(x1+c)2+y12]
比較兩邊可得c,a的關系,結合橢圓的離心率的范圍可求
解答:解:(1)∵P(-1,
3
)在⊙O:x2+y2=b2上,
∴b2=4.(2分)
又∵PA是⊙O的切線
∴PA⊥OP
OP
AP
=0
即(-1,
3
)•(-1+a,
3
)=0,解得a=4.
∴橢圓C的方程為
x2
16
+
y2
4
=1
(5分)
(2)∵c2=a2-b2,A(-a,0),F(xiàn)(-c,0),P(x1,y1
使得
PA
PF
是常數(shù),則有(x1+a)2+y12=λ[(c+x12+y12](λ是常數(shù))
∵x2+y2=b2
即b2+2ax1+a2=λ(b2+2cx1+c2),(8分)
比較兩邊,b2+a2=λ(b2+c2),a=λc,(10分)
故cb2+ca2=a(b2+c2),即ca2-c3+ca2=a3
即e3-2e+1=0,(12分)
(e-1)(e2+e-1)=0,符合條件的解有e=
5
-1
2

即這樣的橢圓存在,離心率為
5
-1
2
.(16分)
點評:本題主要考查了由圓的切線的性質及向量的數(shù)量的基本運算求解橢圓的方程,橢圓的性質的應用,屬于知識的綜合性應用.
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