Question

（2013•棗莊一模）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），⊙O：x²+y²=b²，點(diǎn)A，F(xiàn)分別是橢圓C的左頂點(diǎn)和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P是⊙O上的動點(diǎn)．
（1）若P（-1，

3

），PA是⊙O的切線，求橢圓C的方程；
（2）是否存在這樣的橢圓C，使得

PA

PF

是常數(shù)？如果存在，求C的離心率，如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由P（-1，

3

）在⊙O：x²+y²=b²上可求b，由PA是⊙O的切線可得，PA⊥OP即

OP

•

AP

=0，根據(jù)向量的數(shù)量積可求b，進(jìn)而可求橢圓C的方程
（2）設(shè)F（c，0），由c²=a²-b²可求c，P（x₁，y₁），要使得

PA

PF

是常數(shù)，則有（x₁+a）²+y₁²=λ[（x₁+c）²+y₁²]
比較兩邊可得c，a的關(guān)系，結(jié)合橢圓的離心率的范圍可求

解答：解：（1）∵P（-1，

3

）在⊙O：x²+y²=b²上，
∴b²=4．（2分）
又∵PA是⊙O的切線
∴PA⊥OP
∴

OP

•

AP

=0
即（-1，

3

）•（-1+a，

3

）=0，解得a=4．
∴橢圓C的方程為

x2

16

+

y2

4

=1（5分）
（2）∵c²=a²-b²，A（-a，0），F(xiàn)（-c，0），P（x₁，y₁）
使得

PA

PF

是常數(shù)，則有（x₁+a）²+y₁²=λ[（c+x₁）²+y₁²]（λ是常數(shù)）
∵x²+y²=b²
即b²+2ax₁+a²=λ（b²+2cx₁+c²），（8分）
比較兩邊，b²+a²=λ（b²+c²），a=λc，（10分）
故cb²+ca²=a（b²+c²），即ca²-c³+ca²=a³，
即e³-2e+1=0，（12分）
（e-1）（e²+e-1）=0，符合條件的解有e=

5 -1

2

，
即這樣的橢圓存在，離心率為

5 -1

2

．（16分）

點(diǎn)評：本題主要考查了由圓的切線的性質(zhì)及向量的數(shù)量的基本運(yùn)算求解橢圓的方程，橢圓的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于知識的綜合性應(yīng)用．