Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=4lnx﹣x+ ， g（x）=2x2﹣bx+20，若對(duì)于任意x1∈（0，2），都存在x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2）成立，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是

Answer 1

【答案】[13，+∞）
【解析】∵函數(shù)f（x）=4lnx﹣x+ ， （x＞0）
∴f′（x）=﹣1﹣=﹣ ，
若f′（x）＞0，1＜x＜3，f（x）為增函數(shù)；
若f′（x）＜0，x＞3或0＜x＜1，f（x）為減函數(shù)；
f（x）在x∈（0，2）上有極值，
f（x）在x=1處取極小值也是最小值f（x）min=f（1）=﹣1+3=2；
∵g（x）=2x2﹣bx+20=2（x﹣）2+4﹣ ， 對(duì)稱(chēng)軸x= ， x∈[1，2]，
當(dāng)＜1時(shí)，g（x）在x=1處取最小值g（x）min=g（1）=2﹣b+20=22﹣b；
當(dāng)1＜＜2時(shí)，g（x）在x=處取最小值g（x）min=g（b）=4﹣；
當(dāng)＞2時(shí)，g（x）在[1，2]上是減函數(shù)，g（x）min=g（2）=8﹣2b+20=28﹣2b；
∵對(duì)任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），
∴只要f（x）的最小值大于等于g（x）的最小值即可，
當(dāng)＜1時(shí)，2≥22﹣b，解得b≥20，故b無(wú)解；
當(dāng)＞2時(shí)，2≥28﹣2b，解得b≥13，
綜上：b≥13，
所以答案是：[13，+∞）．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．