Question

設函數(shù)f（x）=-x³-2mx²-m²x+1-m（m＞-2）的圖象在x=2處的切線與直線x-5y-12=0垂直．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值與零點；
（Ⅱ）設g（x）=

1-x

kx

+lnx，若對任意x₁∈[0，1]，存在x₂∈（0，1]，使f（x₁）＞g（x₂）成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）求出函數(shù)的導函數(shù)，結合函數(shù)f（x）的圖象在x=2處的切線與直線x-5y-12=0垂直，可求出m值，進而得到函數(shù)f（x）及其導函數(shù)的解析式，列表分析函數(shù)的單調性，可得函數(shù)f（x）的極值與零點；
（Ⅱ）若對任意x₁∈[0，1]，存在x₂∈（0，1]，使f（x₁）＞g（x₂）成立，可得函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上的最小值大于g（x）在區(qū)間（0，1]上的最小值，分類討論后，綜合討論結果可得實數(shù)k的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵f'（x）=-3x²-4mx-m²，所以f'（2）=-12-8m-m²=-5，
解得m=-1或m=-7
∵m＞-2，∴m=-1
∴f'（x）=-3x²+4x-1，
f'（x）=-3x²+4x-1=0，解得x₁=1，x₂=

1

3

，

∴函數(shù)f（x）的極小值為f（

1

3

）=

50

27

．函數(shù)f（x）的極大值為f（1）=2．
∵f（x）=-x³+2x²-x+2=-（x-2）（x²+1）
∴函數(shù)f（x）的零點是2
（II）由（I）知，當x∈[0，1]時，f（x）_min=

50

27

．
故“對任意x₁∈[0，1]，存在x₂∈（0，1]，使f（x₁）＞g（x₂）成立”，等價于“函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]上的最小值大于g（x）在區(qū)間（0，1]上的最小值”
即當x∈[0，1]時，g（x）_min＜

50

27

．
∵g（x）=

1-x

kx

+lnx，
∴g′（x）=-

1

kx2

+

1

x

=

x- 1 k

x2

①當k＜0時，因為x∈[0，1]，故g（x）=

1-x

kx

+lnx≤0＜

50

27

，符號題意；
②當0＜k≤1時，

1

k

≥1，故x∈[0，1]時，g′（x）≤0，g（x）單調遞減
∴g（x）_min=g（1）=0＜

50

27

，符號題意；
③當k＞1時，0＜

1

k

＜1，
則當x∈（0，

1

k

）時，g′（x）＜0，g（x）單調遞減
當x∈（

1

k

，1）時，g′（x）＞0，g（x）單調遞增
∴x∈[0，1]時，g（x）_min=g（

1

k

）=1-

1

k

+ln

1

k

令h（x）=lnx-x-

23

27

（0＜x＜1）
則h′（x）=

1

x

-1＞0
即h（x）在（0，1）上單調遞增
∴x∈（0，1）時，h（x）＜h（1）=-

50

27

＜0，即lnx-x＜

23

27

∴g（x）_min=g（

1

k

）=1-

1

k

+ln

1

k

＜1+

23

27

=

50

27

，符號題意；
綜上所述，對于任意x₁∈[0，1]，存在x₂∈（0，1]，使f（x₁）＞g（x₂）成立
則實數(shù)k的取值范圍是（-∞，0）∪（0，+∞）

點評：本題考查的知識點是函數(shù)在某點取得極值的條件，導數(shù)在最大值，最小值問題中的應用，熟練掌握導數(shù)在求函數(shù)單調區(qū)間及極值時的方法和步驟是解答的關鍵．