Question

正方形ABCD中，點O是對角線AC的中點，點P是對角線AC上一動點．
（1）如圖1，當點P在線段OA上運動時(不與點A、O重合) ，PE⊥PB交線段CD于點E，PF⊥CD于點E．

①判斷線段DF、EF的數量關系，并說明理由；
②寫出線段PC、PA、CE之間的一個等量關系，并證明你的結論；
（2）如圖2，當點P在線段OC上運動時(不與點O、C重合)，PE⊥PB交直線CD于點E，PF⊥CD于點E．判斷（1）中的結論①、②是否成立？若成立，說明理由；若不成立，寫出相應的結論并證明．

Answer 1

（1）①DF=EF ②PC－PA=CE
（2）結論①成立, 結論②不成立，

試題分析：（1）①DF=EF                                                     …1分
理由如下：連接PD，因為AB=AD,AP=AP,∠BAP=∠DAP=45°,
所以,
所以,
因為,所以在四邊形中,
因為，所以,
因為所以（等腰三角形底邊垂線即底邊平分線）.           …4分
②,同理,
所以,
因為所以                                       …7分
（2）結論①成立                                                           …8分
理由同（1）①即可；                                                       …9分
結論②不成立.                                                             …10分
相應的結論為PA－PC=CE                                             …11分
證明同（1）②.                                                          … 12分
點評：對于此類問題，要靈活運用平面幾何知識（平行、相似、全等等），要注意恰當轉化.