Question

定義在R上的奇函數(shù)f（x）為減函數(shù)，若a+b≤0，給出下列不等式：
①f（a）•f（-a）≤0；
②f（a）+f（b）≤f（-a）+f（-b）；
③f（b）•f（-b）≥0；
④f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）；
⑤f（a）+f（b）≤0；
⑥f（a）+f（b）≥0．
其中正確的是

 

（把你認(rèn)為正確的不等式的序號(hào)全寫上）．

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，可以證明對(duì)任意的x，都有f（x）•f（-x）=-[f（x）]²≤0，由此可得①正確而③不正確；再根據(jù)奇函數(shù)f（x）是定義在R上的減函數(shù)，結(jié)合a+b≤0可得f（a）≥f（-b），同理f（b）≥f（-a），相加即得：f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b），從而得到④正確而②不正確．f（a）≥f（-b），可得f（a）≥-f（b），即⑥正確，⑤不正確．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）為奇函數(shù)
∴對(duì)任意的x∈R，都有f（-x）=-f（x），可得f（x）•f（-x）=-[f（x）]²≤0，
由此可得①f（a）•f（-a）≤0正確，而③f（b）•f（-b）≥0不正確；
∵a+b≤0，即a≤-b，且函數(shù)f（x）為定義在R上的減函數(shù)，
∴f（a）≥f（-b），同理可得f（b）≥f（-a）
兩式相加，得：f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）．
因此，④正確而②不正確．
∵f（a）≥f（-b），∴f（a）≥-f（b），
∴f（a）+f（b）≥0，即⑥正確，⑤不正確．
故答案為：①④⑥．

點(diǎn)評(píng)：本題給出抽象函數(shù)，在已知單調(diào)性和奇偶性的前提下，判斷有關(guān)不等式是否正確，考查了函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)及其應(yīng)用的知識(shí)點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．