Question

5．如圖，某地一天從6時到14時的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）+b，（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）．
（1）寫出這段曲線的函數(shù)f（x）的解析式；
（2）當x∈R時，若函數(shù)g（x）=f（x+m）是偶函數(shù)，求實數(shù)|m|的最小值．

Answer 1

分析 （1）由圖可知$\frac{1}{2}•\frac{2π}{ω}$=14-6，解得ω，由圖示A=$\frac{1}{2}$（30-10）=10，b=$\frac{1}{2}$（30+10）=20，將x=6，y=10代入上式可取φ=$\frac{3π}{4}$，即可得解．
（2）先求得g（x）=f（x+m）=10sin（$\frac{π}{8}$x+$\frac{mπ}{8}$+$\frac{3π}{4}$）+20，x∈R，由g（x）=f（x+m）是偶函數(shù)可得g（x）=g（-x），對x∈R恒成立，即sin$\frac{π}{8}$x•cos（$\frac{mπ}{8}$+$\frac{3π}{4}$）=0對x∈R恒成立，可得cos（$\frac{mπ}{8}$+$\frac{3π}{4}$）=0，即可得解．

解答 本小題滿分（12分）
解：（1）圖中從6時到14時的圖象是函數(shù)y=Asin（ωx+φ）+b的半個周期的圖象．
∴$\frac{1}{2}•\frac{2π}{ω}$=14-6，解得ω=$\frac{π}{8}$．------------------------------------------（2分）
由圖示A=$\frac{1}{2}$（30-10）=10，b=$\frac{1}{2}$（30+10）=20-------------------------------（4分）
∴y=10sin（$\frac{π}{8}$x+φ）+20
將x=6，y=10代入上式可取φ=$\frac{3π}{4}$---------------------------------------（6分）
故所求的解析式為y=10sin（$\frac{π}{8}$x+$\frac{3π}{4}$）+20，x∈[6，14]---------------------（7分）
（2）易得g（x）=f（x+m）=10sin（$\frac{π}{8}$x+$\frac{mπ}{8}$+$\frac{3π}{4}$）+20，x∈R----------------（8分）
由g（x）=f（x+m）是偶函數(shù)可得，
∴g（x）=g（-x），對x∈R恒成立，
也即sin（$\frac{π}{8}$x+$\frac{mπ}{8}$+$\frac{3π}{4}$）=sin（-$\frac{π}{8}$x+$\frac{mπ}{8}$+$\frac{3π}{4}$）對x∈R恒成立
即sin$\frac{π}{8}$x•cos（$\frac{mπ}{8}$+$\frac{3π}{4}$）=0對x∈R恒成立----------------------------（10分）
∴cos（$\frac{mπ}{8}$+$\frac{3π}{4}$）=0，
∴$\frac{mπ}{8}$+$\frac{3π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
∴m=8k-2，k∈Z，------------------------------------------------（11分）
所以實數(shù)|m|的最小值為2-------------------------------------------（12分）

點評 本題主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基本知識的考查．