Question

規(guī)定=，其中是正整數(shù)，且=1，這是組合數(shù) (是正整數(shù)，且)的一種推廣．

(1)求的值；

(2)設(shè)，當(dāng)為何值時(shí)，取得最小值?

(3)組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)：①=； ②+=

是否都能推廣到 (是正整數(shù))的情形?若能推廣，則寫出推廣的形式并給出證明；若不能，則說明理由．

 

Answer 1

【答案】

(1)．

(2)當(dāng)時(shí)，取得最小值．

(3)性質(zhì)①不能推廣．例如當(dāng)時(shí)，有意義，但無(wú)意義；

性質(zhì)②能推廣，其推廣形式是：，是正整數(shù)，

【解析】

試題分析：(1)．  4分

(2)

∵當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)

∴當(dāng)時(shí)，取得最小值．  8分

(3)性質(zhì)①不能推廣．例如當(dāng)時(shí)，有意義，但無(wú)意義；

性質(zhì)②能推廣，其推廣形式是：，是正整數(shù)，12分

事實(shí)上，當(dāng)時(shí)，有，

當(dāng)時(shí)，

=

=．  15分

考點(diǎn)：本題主要考查組合數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用，歸納推理，均值定理的應(yīng)用。

點(diǎn)評(píng)：中檔題，本題由3道小題組成，前兩小題解題思路明確，利用組合數(shù)公式及其性質(zhì)變形、計(jì)算，其中（2）在得到函數(shù)表達(dá)式的基礎(chǔ)上，靈活運(yùn)用均值定理求最值，具有一般性。（3）利用歸納推理，作出判斷，利用組合數(shù)公式及其性質(zhì)進(jìn)行了證明，對(duì)復(fù)雜式子變形能力要求高。