Question

設(shè)f（x）是R上的奇函數(shù)，且對(duì)?x∈R都有f（x+2）=-f（x），當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，f（x）=x³，
（1）求證：直線(xiàn)x=1是函數(shù)f（x）的圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸；
（2）當(dāng)x=[1，5]時(shí)，求函數(shù)f（x）的解析式．

Answer 1

（1）證明：因?yàn)槠婧瘮?shù)，所以f（x+2）=-f（x）=f（-x）對(duì)任意實(shí)數(shù)X成立．
又因?yàn)閤+2，-x關(guān)于直線(xiàn)x=1對(duì)稱(chēng)，
故：直線(xiàn)x=1是函數(shù)f（x）圖象上的一條對(duì)稱(chēng)軸
（2）因?yàn)椋篺（x+2）=-f（x）
∴f（x+4）=-f（x+2）=-[-f（x）]=f（x）
∴f（x）是以4為最小正周期的周期函數(shù)因?yàn)椋褐本�(xiàn)x=1是函數(shù)f（x）圖象上的一條對(duì)稱(chēng)軸；
所以：1≤x≤3的圖象與-1≤x≤1的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=1對(duì)稱(chēng)．
故：f（x）=-（x-2）³，1≤x≤3；
∵f（x）是以4為最小正周期的周期函數(shù)
∴把f（x）在-1≤x≤1的圖象向右平移四個(gè)單位，即可得f（x）在3≤x≤5上的圖象；
∴f（x）=（x-4）³，3≤x≤5．
∴f（x）=

-(x-2)3，(1≤x≤3) (x-4)3，(3＜x≤5)

；