Question

選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
將圓x²+y²=4上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)壓縮至原來(lái)的，所得曲線(xiàn)記作C；將直線(xiàn)3x-2y-8=0繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°所得直線(xiàn)記作l．
（I）求直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C的方程；
（II）求C上的點(diǎn)到直線(xiàn)l的最大距離．

Answer 1

【答案】分析：（I）設(shè)曲線(xiàn)C上任一點(diǎn)為（x，y），則（x，2y）在圓x²+y²=4上，代入即可求得曲線(xiàn)C的方程，寫(xiě)出直線(xiàn)3x-2y-8=0的極坐標(biāo)方程，記作l，設(shè)直線(xiàn)l上任一點(diǎn)為（ρ，θ），則點(diǎn)（ρ，θ-90°）在l上，代入化簡(jiǎn)，再轉(zhuǎn)化為普通方程即可；
（II）設(shè)曲線(xiàn)C上任一點(diǎn)為M（2cosψ，sinψ），到直線(xiàn)l的距離為d=，利用三角知識(shí)化為即可求得其最大值；
解答：（Ⅰ）設(shè)曲線(xiàn)C上任一點(diǎn)為（x，y），則（x，2y）在圓x²+y²=4上，
于是x²+（2y）²=4，即．
直線(xiàn)3x-2y-8=0的極坐標(biāo)方程為3ρcosθ-2ρsinθ-8=0，將其記作l，
設(shè)直線(xiàn)l上任一點(diǎn)為（ρ，θ），則點(diǎn)（ρ，θ-90°）在l上，
于是3ρcos（θ-90°）-2ρsin（θ-90°）-8=0，即：3ρsinθ+2ρcosθ-8=0，
故直線(xiàn)l的方程為2x+3y-8=0；
（Ⅱ）設(shè)曲線(xiàn)C上任一點(diǎn)為M（2cosψ，sinψ），
它到直線(xiàn)l的距離為d==，
其中ψ滿(mǎn)足：cosψ=，sinψ=．
∴當(dāng)ψ-ψ=π時(shí)，d_max=．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)、橢圓的極坐標(biāo)方程，考查直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)上點(diǎn)的距離問(wèn)題，考查學(xué)生對(duì)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化能力．