Question

在各棱長均為1的正三棱柱ABC—A₁B₁C₁中,

(1)求BC₁與側(cè)面ABB₁A₁所成角的正切值;

(2)如果M為CC₁的中點(diǎn),求截面AB₁M與底面所成角的大小.

Answer 1

解析:(1)如圖,取A₁B₁的中點(diǎn)D,連結(jié)BD、DC₁,

∵A₁C₁=B₁C₁,∴C₁D⊥A₁B₁.

由ABC—A₁B₁C₁為正三棱柱,

∴B₁B⊥C₁D.∴C₁D⊥側(cè)面AA₁B₁B.

∴∠DBC₁為BC₁和側(cè)面ABB₁A₁所成的角,DC₁=,DB= .

∴tan∠DBC₁=DC₁∶DB=.

(2)如圖,∵△ABC是△AB₁M在底面上的射影,

∴cosα=S_△ABC∶,取AB₁的中點(diǎn)N,連結(jié)DN,

∵DNA₁A,而A₁ACC₁,

∴DNCC₁.又∵M(jìn)為CC₁的中點(diǎn),

∴DNC₁M.∴C₁DMN.

又∵C₁D⊥面AB₁,∴MN⊥平面AB₁且MN=.

∴=AB₁·MN=.而S_△ABC=.

∴cosα=.∴α=45°.