Question

（2012•溫州一模）如圖，過(guò)點(diǎn)A（0，-1）的動(dòng)直線l與拋物線C：x²=4y交于P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）兩點(diǎn)．
（1）求證：x₁x₂=4
（2）已知點(diǎn)B（-1，1），直線PB交拋物線C于另外一點(diǎn)M，試問(wèn)：直線MQ是否經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（I）由題意可得，設(shè)直線L的方程為y=kx-1，聯(lián)立直線與拋物線方程，根據(jù)方程的根與系數(shù)關(guān)系即可求證
（II）設(shè)M（x3，

x32

4

），由P，M，B三點(diǎn)共線可得K_PB=K_PM可得x₁x₃+x₁+x₃+4=0，結(jié)合（I）中x₁x₂=4整理可得

x2x3

4

=-(x2+x3)-1，求出直線PQ的方程即可求解

解答：解：（I）由題意可得，直線L的斜率存在，設(shè)直線L的方程為y=kx-1
由

y=kx-1 x2=4y

可得x²-4kx+4=0
∴x₁x₂=4
（II）設(shè)M（x3，

x32

4

）
∵P，M，B三點(diǎn)共線
∴

x12 4 -1

x1+1

=

x12 4 - x32 4

x1-x3

=

x1+x3

4

化簡(jiǎn)可得，x₁x₃+x₁+x₃+4=0（*）
∵x₁x₂=4
∴x1=

4

x2

代入（*）可得x₁x₃+4（x₁+x₃）+4=0
∴

x2x3

4

=-(x2+x3)-1

x22 4 - x32 4

x2-x3

=

x2+x3

4

∴直線MQ的方程為y-

x22

4

=

x2+x3

4

（x-x₂）即y=

x2+x3

4

x-

x2x3

4

∵

x2x3

4

=-(x2+x3)-1
∴y=

x2+x3

4

x-

x2x3

4

=

x2+x3

4

x+x2+x3+1
當(dāng)x=-4時(shí)，y=1
∴直線MQ經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)（-4，1）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與拋物線的相交關(guān)系的應(yīng)用，方程的根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，直線方程的應(yīng)用及一定的邏輯推理與運(yùn)算的能力