已知雙曲線C的兩條漸近線都過原點，且都與以點A(
2
，0) 為圓心，1為半徑的圓相切，雙曲線的一個定點A1 與點A關于直線y=x對稱，求雙曲線C的標準方程
 
．
分析：設雙曲線的漸近線為y=kx，則可求得圓心到直線的距離求得k，進而求得點A的關于直線y=x的對稱點，求得雙曲線的a和b，雙曲線方程可得．
解答：解：設雙曲線的漸近線為y=kx，即kx-y=0，
依題意知：
|
2
k|
k2+1
=1，則k=±1，
所以漸近線為y=±x
∵A1 與點A關于直線y=x對稱
∴A1 的坐標為(0，
2
)
設所求雙曲線的方程為x2-y2=λ（λ≠0）
代入A1 (0，
2
)，得λ=-2
所以所求雙曲線的方程為
y2
2
-
x2
2
=1．
點評：本題主要考查了雙曲線的標準方程．圓錐曲線與直線的關系歷來是高考的熱點，應加強復習．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：重慶市高考真題 題型：解答題

已知以原點D為中心，F(xiàn)（，0）為右焦點的雙曲線C的離心率，。
（1）求雙曲線C的標準方程及其漸近線方程；
（2）如圖，已知過點M（x1，y1）的直線l1：x1x+4y1y=4與過點N（x2，y2）（其中x2≠x1）的直線l2：x2x+4y2y=4的交點E在雙曲線C上，直線MN與兩條漸近 線分別交于G、H兩點，求△OGH的面積。

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