Question

設(shè)圓錐的母線長為l，底面半徑為r，滿足條件“它的一個內(nèi)接圓柱的側(cè)面積等于圓錐側(cè)面積的”的情況有且只有一種，則=________．

Answer 1

分析：由題意畫出圓錐及其內(nèi)接圓柱的軸截面圖，設(shè)出圓錐的高，圓柱的高和底面半徑，然后根據(jù)平行關(guān)系建立方程，由滿足條件“圓錐的一個內(nèi)接圓柱的側(cè)面積等于圓錐側(cè)面積的”的情況有且只有一種知方程有唯一解，利用方程的判別式等于0得圓錐的母線長l與底面半徑r的關(guān)系．
解答：解：由題意畫出軸截面圖，如圖所示，
圓錐的母線長為l，底面半徑為r，
設(shè)圓錐高為h，內(nèi)接圓柱高為x，底面半徑為y，
∵CD∥AB，∴，∴，則，
∴圓錐的側(cè)面積S₁=πrl，圓柱的側(cè)面積S₂=2πx•y=．
由圓錐的一個內(nèi)接圓柱的側(cè)面積等于圓錐側(cè)面積的得：，
即，也就是．
又“圓錐的一個內(nèi)接圓柱的側(cè)面積等于圓錐側(cè)面積的”的情況有且只有一種
∴方程有且只有一個解，
∴△==0，
即．
∵，
∴，
整理得：，∴．
∴圓錐的母線長為l，底面半徑為r，滿足條件“它的一個內(nèi)接圓柱的側(cè)面積等于圓錐側(cè)面積的”的情況有且只有一種時的．
故答案為．
點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)體中組合體的關(guān)系，考查了學(xué)生的觀察與分析能力，考查了空間想象能力，解答此題的關(guān)鍵是把題目給出的條件轉(zhuǎn)化成方程有唯一解，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，同時訓(xùn)練了學(xué)生對一元二次方程有唯一解情況的處理，是中檔題．