Question

已知n∈N^*，設(shè)S_n是單調(diào)遞減的等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，a₁=1，且S₂+a₂、S₄+a₄、S₃+a₃成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）數(shù)列x∈（0，+∞）滿足b₁=2a₁，b_n+1b_n+b_n+1-b_n=0，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）在滿足（Ⅱ）的條件下，若cn=

ancos(nπ)

bn

，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）依題意可求得q=

1

2

，而a₁=1，從而可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）依題意b_n+1b_n+b_n+1-b_n=0⇒

1

bn+1

-

1

bn

=1，從而知{

1

bn

}是以

1

2

為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，于是可求得

1

bn

=

2n-1

2

，繼而可得數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）由已知可求得：c_n=（2n-1）×(-

1

2

)n，于是T_n=1×（-

1

2

）+3×(-

1

2

)2+5×(-

1

2

)3+…+（2n-1）×(-

1

2

)n，利用錯位相減法即可求得T_n的值．

解答： 解：（ I）設(shè)數(shù)列 {a_n}的公比為q，由2（S₄+a₄）=S₂+a₂+S₃+a₃，
得（S₄-S₂）+（S₄-S₃）+2a₄=a₂+a₃，即4a₄=a₂，
所以q²=

1

4

，
∵{a_n}是單調(diào)數(shù)列，
∴q=

1

2

，
∴a_n=(

1

2

)n-1．
（ II） b₁=2，∵b_n+1b_n+b_n+1-b_n=0，
∴1+

1

bn

-

1

bn+1

=0，即

1

bn+1

-

1

bn

=1，
即{

1

bn

}是以

1

2

為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，
故

1

bn

=

1

2

+（n-1）×1=

2n-1

2

，即b_n=

2

2n-1

．
（ III）∵c_n=

ancos(nπ)

bn

=

2n-1

2n

cos（nπ）=

2n-1

2n

•（-1）ⁿ=（2n-1）×(-

1

2

)n，
∴T_n=1×（-

1

2

）+3×(-

1

2

)2+5×(-

1

2

)3+…+（2n-1）×(-

1

2

)n，
-

1

2

T_n=1×(-

1

2

)2+3×(-

1

2

)3+…+（2n-3）×(-

1

2

)n+（2n-1）×(-

1

2

)n+1，
兩式相減，得

3

2

T_n=1×（-

1

2

）+2[(-

1

2

)2+(-

1

2

)3+…+(-

1

2

)n]-（2n-1）×(-

1

2

)n+1
=

1

2

+2×

- 1 2 ×[1-(- 1 2 )n]

1+ 1 2

-（2n-1）×(-

1

2

)n+1
=

1

2

-

2

3

[1-(-

1

2

)n]-（2n-1）×(-

1

2

)n+1，
=-

1

6

+（n+

1

6

）•(-

1

2

)n，
即T_n=-

1

9

+

1

9

（6n+1）(-

1

2

)n．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的求和，著重考查等差數(shù)列的關(guān)系的確定及其通項(xiàng)公式的應(yīng)用，突出考查方程思想與錯位相減法求和，屬于難題．