【題目】已知函數(shù)f(x)= x2﹣2ax+lnx(a∈R),x∈(1,+∞).
(1)若函數(shù)f(x)有且只有一個極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)對于函數(shù)f(x)、f1(x)、f2(x),若對于區(qū)間D上的任意一個x,都有f1(x)<f(x)<f2(x),則稱函數(shù)f(x)是函數(shù)f1(x)、f2(x)在區(qū)間D上的一個“分界函數(shù)”.已知f1(x)=(1﹣a2)lnx,f2(x)=(1﹣a)x2 , 問是否存在實(shí)數(shù)a,使得f(x)是函數(shù)f1(x)、f2(x)在區(qū)間(1,+∞)上的一個“分界函數(shù)”?若存在,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;若不存在,說明理由.
【答案】
(1)解:f′(x)= ,x∈(1,+∞),
令g(x)=x2﹣2ax+1,由題意得:g(x)在[1,+∞)有且只有1個零點(diǎn),
∴g(1)<0,解得:a>1
(2)解:若f(x)是函數(shù)f1(x)、f2(x)在區(qū)間(1,+∞)上的一個“分界函數(shù)”,
則x∈(1,+∞)時,f(x)﹣(1﹣a)x2<0恒成立且f(x)﹣(1﹣a2)lnx>0恒成立,
令h(x)=f(x)﹣(1﹣a)x2=(a﹣ )x2﹣2ax+lnx,
則h′(x)= ,
①2a﹣1≤0即a≤ 時,當(dāng)x∈(1,+∞)時,h′(x)<0,h(x)遞減,且h(1)=﹣ ﹣a,
∴h(1)≤0,解得:﹣ ≤a≤ ;
②2a﹣1>0即a> 時,y=(a﹣ )x2﹣2ax的圖象開口向上,
存在x0>1,使得(a﹣ ) ﹣2ax0>0,
從而h(x0)>0,h(x)<0在(1,+∞)不恒成立,
令m(x)=f(x)﹣(1﹣a2)lnx= x2﹣2ax+a2lnx,
則m′(x)= ≥0,m(x)在(1,+∞)遞增,
由f(x)﹣(1﹣a2)lnx>0恒成立,得:m(1)≥0,解得:a≤ ,
綜上,a∈[﹣ , ]時,f(x)是函數(shù)f1(x)、f2(x)在區(qū)間(1,+∞)上的一個“分界函數(shù)”.
【解析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),根據(jù)f(x)有且只有一個極值點(diǎn),得到x2﹣2ax+1<0恒成立,求出a的范圍即可;(2)根據(jù)“分界函數(shù)”的定義,只需x∈(1,+∞)時,f(x)﹣(1﹣a)x2<0恒成立且f(x)﹣(1﹣a2)lnx>0恒成立,判斷函數(shù)的單調(diào)性,求出a的范圍即可.
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù),掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值即可以解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司試銷一種成本單價為500元/件的新產(chǎn)品,規(guī)定試銷時銷售單價不低于成本單價,又不高于800元/件.經(jīng)試銷調(diào)查,發(fā)現(xiàn)銷售量(件)與銷售單價(元/件)可近似看作一次函數(shù)的關(guān)系(如圖所示).
(1)由圖象,求函數(shù)的表達(dá)式;
(2)設(shè)公司獲得的毛利潤(毛利潤=銷售總價﹣成本總價)為元.試用銷售單價表示毛利潤,并求銷售單價定為多少時,該公司獲得最大毛利潤?最大毛利潤是多少?此時的銷售量是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長都為2,D為CC1中點(diǎn).
(1)求證:AB1⊥平面A1BD;
(2)求銳二面角A-A1D-B的余弦值;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x+2)f(x)=1對于x∈R恒成立,且f(x)>0,則f(2015)= .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=2sinxcos(x+ )+ .
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0, ]上的最大值及最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某高校共有15000人,其中男生10500人,女生4500人,為調(diào)查該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動時間的情況,采用分層抽樣的方法,收集300位學(xué)生每周平均體育運(yùn)動時間的樣本數(shù)據(jù)(單位:小時)
(1)應(yīng)收集多少位女生樣本數(shù)據(jù)?
(2)根據(jù)這300個樣本數(shù)據(jù),得到學(xué)生每周平均體育運(yùn)動時間的頻率分布直方圖(如圖所示),其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為:.估計該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動時間超過4個小時的概率.
(3)在樣本數(shù)據(jù)中,有60位女生的每周平均體育運(yùn)動時間超過4個小時.請完成每周平均體育運(yùn)動時間與性別的列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認(rèn)為“該校學(xué)生的每周平均體育運(yùn)動時間與性別有關(guān)”.
附:
0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn , 且a1=1,S7=28,記bn=[lgan],其中[x]表示不超過x的最大整數(shù),如[0.9]=0,[lg99]=1,則數(shù)列{bn}的前1000項和為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(a>0,a≠1).
(1)判斷并證明函數(shù)f(x)的奇偶性;
(2)若f(t2t1)+f(t2)<0,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且2sin Acos B=2sin C﹣sin B. ①求角A;
②若a=4 ,b+c=8,求△ABC 的面積.
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