Question

如果函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|x∈R⁺}，且f（x）為增函數(shù)，f（xy）=f（x）+f（y）．
（1）證明：f（

x

y

）=f（x）-f（y）；
（2）已知f（3）=1，且f（a）＞f（a-1）+2，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）結(jié)合抽象表達(dá)式用x=

x

y

•y即可將f（x）轉(zhuǎn)化成f(x)=f(

x

y

•y)=f(

x

y

)+f(y)，即可證得f（

x

y

）=f（x）-f（y）；
（2）首先通過賦值可求出2=f（9），進(jìn)而對(duì)不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后結(jié)合函數(shù)y=f（x）是定義在（0，+∞）上的單調(diào)性，結(jié)合變形后的抽象函數(shù)即可獲得變量a的要求，進(jìn)而問題即可獲得解答．

解答：解：（1）∵f(x)=f(

x

y

•y)=f(

x

y

)+f(y)，
∴f(

x

y

)=f(x)-f(y)；
（2）∵f（3）=1，f（a）＞f（a-1）+2，
∴f（a）-f（a-1）＞2，
∴f(

a

a-1

)＞2=f(3)+f(3)=f(9)，
∵f（x）是（0，+∞）上的增函數(shù)，
∴

a

a-1

＞9解得a＜

9

8

，
又a＞0，a-1＞0，
∴1＜a＜

9

8

，
∴a的取值范圍是1＜a＜

9

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是抽象函數(shù)及其應(yīng)用的綜合類問題．在解答的過程當(dāng)中充分體現(xiàn)了定義域優(yōu)先的原則、特值的思想、轉(zhuǎn)化的思想以及計(jì)算和解不等式組的能力．值得同學(xué)們體會(huì)和反思．