Question

15．已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，n∈N^*．
（1）若a_n+1=2a_n+n+1，求數(shù)列的通項a_n．
（2）若a_n+1=2a_n+4ⁿ+2，求數(shù)列的通項a_n．
（3）若a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{-7{a}_{n}-6}$，求數(shù)列的通項a_n．
（4）若a_n+1=a_n²+2a_n，求數(shù)列的通項a_n．

Answer 1

分析 （1）由原遞推式變形可得a_n+1+n+3=2（a_n+n+2），則數(shù)列{a_n+n+2}是以a₁+1+2=4為首項，以2為公比的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項公式可求數(shù)列的通項a_n；
（2）把已知遞推式兩邊同時除以2ⁿ⁺¹，然后分別取n=1、2、…、n-1，再利用累加法，分組后由等比數(shù)列的前n項和即可求得答案；
（3）把已知遞推式兩邊取倒數(shù)，然后構(gòu)造等比數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}+1$}，求其通項公式后可得數(shù)列的通項a_n；
（4）由已知遞推式可得${a}_{n+1}+1=（{a}_{n}+1）^{2}$，兩邊取對數(shù)得lg（a_n+1+1）=2lg（a_n+1），可得數(shù)列{lg（a_n+1）}是以lg2為首項，以2為公比的等比數(shù)列，求其通項公式后可得數(shù)列的通項a_n．

解答 解：a₁=1，
（1）由a_n+1=2a_n+n+1，得a_n+1+n+3=2（a_n+n+2），
∴數(shù)列{a_n+n+2}是以a₁+1+2=4為首項，以2為公比的等比數(shù)列，
則a_n+n+2=4×2^n-1=2ⁿ⁺¹，
∴${a}_{n}={2}^{n+1}-n-2$；
（2）由a_n+1=2a_n+4ⁿ+2，得$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}=\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}+{2}^{n-1}+\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}=\frac{{a}_{1}}{{2}^{1}}+{2}^{0}+\frac{1}{2}$，$\frac{{a}_{3}}{{2}^{3}}=\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}+{2}^{1}+\frac{1}{{2}^{2}}$，$\frac{{a}_{4}}{{2}^{4}}=\frac{{a}_{3}}{{2}^{3}}+{2}^{2}+\frac{1}{{2}^{3}}$，
…
$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}=\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}+{2}^{n-2}+\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
累加得：$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}=\frac{1}{2}+（{2}^{0}+{2}^{1}+…+{2}^{n-2}）+（\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+…+\frac{1}{{2}^{n-1}}）$
=$\frac{1}{2}+\frac{1×（1-{2}^{n-1}）}{1-2}+\frac{\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$=${2}^{n-1}+\frac{1}{{2}^{n-1}}+\frac{1}{2}$，
∴${a}_{n}={2}^{2n-1}+{2}^{n-1}-2$；
（3）由a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{-7{a}_{n}-6}$，得$\frac{1}{{a}_{n+1}}=-\frac{6}{{a}_{n}}-7$，
即$\frac{1}{{a}_{n+1}}+1=-6（\frac{1}{{a}_{n}}+1）$，
∵$\frac{1}{{a}_{1}}+1=2≠0$，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}+1$}構(gòu)成以2為首項，以-6為公比的等比數(shù)列，
則$\frac{1}{{a}_{n}}+1=2×（-6）^{n-1}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}=2×（-6）^{n-1}-1$，則${a}_{n}=\frac{1}{2×（-6）^{n-1}-1}$；
（4）由a_n+1=a_n²+2a_n，得${a}_{n+1}+1=（{a}_{n}+1）^{2}$，
兩邊取對數(shù)得lg（a_n+1+1）=2lg（a_n+1），
∵lg（a₁+1）=lg2≠0，
∴數(shù)列{lg（a_n+1）}是以lg2為首項，以2為公比的等比數(shù)列，
則$lg（{a}_{n}+1）={2}^{n-1}lg2$，
∴${a}_{n}+1=1{0}^{{2}^{n-1}lg2}$，則${a}_{n}=1{0}^{{2}^{n-1}lg2}-1$．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，訓(xùn)練了由數(shù)列遞推式構(gòu)造等比數(shù)列求數(shù)列的通項公式，考查了累積法求數(shù)列的通項公式，屬中檔題．