Question

已知函數(shù)f（x）=aln（x+1）+（x+1）²，其中，a為實常數(shù)且a≠0．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）若f(x)≥

a

2

對任意x∈（-1，+∞）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再看當(dāng)x取什么值時，導(dǎo)數(shù)大于0，當(dāng)x取什么值時，導(dǎo)數(shù)小于0，從而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（II）因由（Ⅰ）知，當(dāng)a＞0時，f（x）在（-1，+∞）單調(diào)增，而當(dāng)x→0時，f（x）→-∞所以此時f（x）無最小值，不合題意，故只要考慮當(dāng)a＜0時的情形即可，欲使得f(x)≥

a

2

恒成立，只須

a

2

小于等于f（x）的最小值即可，由此得不等式解之即可．

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=

a

x+1

+2(x+1)=

2(x+1)2+a

x+1

（2分）
因為f（x）的定義域為（-1，+∞），所以x+1＞0
當(dāng)a＞0時，f′（x）＞0，此時f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-1，+∞）（4分）
當(dāng)a＜0時，2（x+1）²＞-a，即x＞-1+

- a 2

時f′（x）＞0，
此時f（x）的單增區(qū)間為(-1+

- a 2

，+∞)（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)a＞0時，f（x）在（-1，+∞）單調(diào)增，而當(dāng)x→0時，f（x）→-∞
所以此時f（x）無最小值，不合題意（7分）
當(dāng)a＜0時，f（x）在(-1，-1+

- a 2

)上單調(diào)減，在(-1+

- a 2

，+∞)上增，
所以f(x)≥

a

2

恒成立，即f(-1+

- a 2

)≥

a

2

?aln

- a 2

+(

- a 2

)2≥

a

2

（10分）
?ln

- a 2

≤1，得0＜

- a 2

≤e?-2e2≤a＜0.（12分）

點評：本題主要考查了函數(shù)恒成立問題、函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間等知識．屬于基礎(chǔ)題．恒成立問題多需要轉(zhuǎn)化，因為只有通過轉(zhuǎn)化才能使恒成立問題得到簡化；轉(zhuǎn)化過程中往往包含著多種數(shù)學(xué)思想的綜合運用．