Question

設函數(shù)f（x）=|x²-2x-3|
（1）求函數(shù)f（x）的零點；
（2）在坐標系中畫出函數(shù)f（x）的圖象；
（3）討論方程|x²-2x-3|=k（k∈R）解的情況．

Answer 1

解：（1）令f（x）=|x²-2x-3|=0
即x²-2x-3=0
解得x=-1，或x=3
即函數(shù)f（x）的零點為-1和3
（2）函數(shù)f（x）的圖象如圖所示

（3）由（2）得
當k＜0時，f（x）=|x²-2x-3|的圖象與y=k無交點，則方程|x²-2x-3|=k無根；
當k=0，或k＞4時，f（x）=|x²-2x-3|的圖象與y=k有兩個交點，則方程|x²-2x-3|=k有兩根；
當0＜k＜4時，f（x）=|x²-2x-3|的圖象與y=k有四個交點，則方程|x²-2x-3|=k有四根；
當k=4時，f（x）=|x²-2x-3|的圖象與y=k有三個交點，則方程|x²-2x-3|=k有三根．
分析：（1）根據方程零點與方程根之間的關系，解方程|x²-2x-3|=0，即可求出函數(shù)f（x）的零點；
（2）根據二次函數(shù)的圖象和性質及對折變換法則，我們易畫出函數(shù)f（x）的圖象；
（3）根據（2）中的圖象，分別討論f（x）=|x²-2x-3|的圖象與y=k交點的個數(shù)，即可得到方程|x²-2x-3|=k的解的情況．
點評：本題考查的知識點是函數(shù)圖象的作法，函數(shù)的零點，根的存在性及根的個數(shù)的判斷，其中（3）中的數(shù)形結合是高中的第一大數(shù)學思想，要引起大家的重視．