Question

如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點(diǎn)P在線段AD₁上運(yùn)動(dòng)，給出以下四個(gè)命題：
①異面直線C₁P與CB₁所成的角為定值；
②二面角P-BC₁-D的大小為定值；
③三棱錐D-BPC₁的體積為定值；
④異面直線A₁P與BC₁間的距離為定值．
其中真命題的個(gè)數(shù)為（ ）

A．1
B．2
C．3
D．4

Answer 1

【答案】分析：對(duì)于①由題意及圖形利用異面直線所成角的概念及求異面直線間的方法及可求解；
對(duì)于②由題意及平面具有延展性可知實(shí)質(zhì)為平面ABC₁D₁與平面BDC₁所成的二面角；
對(duì)于③由題意及三棱錐的體積的算法中可以進(jìn)行頂點(diǎn)可以輪換性求解體積，和點(diǎn)P的位置及直線AD₁與平面BDC₁的位置即可判斷正誤；
對(duì)于④有異面直線間的距離的概念及這兩個(gè)直線所在的平面的情況即可判斷出答案．
解答：解：對(duì)于①因?yàn)樵诶忾L(zhǎng)為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點(diǎn)P在線段AD₁上運(yùn)動(dòng)，有正方體的及題意易有B₁C⊥平面ABC₁D₁，而C₁P?平面ABC₁D₁，所以B₁C⊥C₁P，故這兩個(gè)異面直線所成的角為定值90^°，所以①正確；
     對(duì)于②因?yàn)槎�面角P-BC₁-D的大小，實(shí)質(zhì)為平面ABC₁D₁與平面BDC₁所成的二面角而這兩的平面為固定的不變的平面所以夾角也為定值，故②正確；
對(duì)于③三棱錐D-BPC₁的體積還等于三棱錐的體積P-DBC₁的體積，而平面DBC₁為固定平面且大小一定，又因?yàn)镻∈AD₁，
    而AD₁∥平面BDC₁，所以點(diǎn)A到平面DBC₁的距離即為點(diǎn)P到該平面的距離，所以三棱錐的體積為定值，故③正確；
對(duì)于④由意面直線間的距離定義及求法，因?yàn)橹本�A₁P和BC₁分別位于平面ADD₁A₁和
平面BCC₁B₁中，且這兩個(gè)平面平行，故這兩個(gè)平面間的距離即為所求的異面直線間的距離，所以這兩個(gè)異面直線間的距離為定值，故④正確；
  故選D
點(diǎn)評(píng)：對(duì)于①重點(diǎn)考查了異面直線所成角的概念及求異面直線間的方法；
對(duì)于②重點(diǎn)考查了平面具有延展性及二面角的求法及其定義；
對(duì)于③重點(diǎn)考查了三棱錐的體積的體積計(jì)算可以進(jìn)行頂點(diǎn)輪換及線面平行時(shí)，直線上任意一點(diǎn)到平面的距離都行等這一結(jié)論；
對(duì)于④重點(diǎn)考查了異面直線間的距離概念及這兩個(gè)直線所在的平面平行時(shí)兩平面間的距離即為異面直線間的距離這一結(jié)論．