4.一個圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為a的半圓,則此圓錐的體積為$\frac{\sqrt{3}{a}^{3}π}{24}$.

分析 半徑為a的半圓的弧長是aπ,圓錐的底面周長等于側(cè)面展開圖的扇形弧長,因而圓錐的底面周長是aπ,利用弧長公式計算,求出半徑,進而可得高,即可求出圓錐的體積.

解答 解:∵圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為a的半圓,
∴圓錐的母線長為a,
設圓錐的底面半徑為r,
則2πr=π×a,
∴r=$\frac{a}{2}$.
圓錐的高為:$\sqrt{{a}^{2}-(\frac{a}{2})^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$,
∴圓錐的體積=$\frac{1}{3}$×($\frac{a}{2}$)2×π×$\frac{\sqrt{3}}{2}a$=$\frac{\sqrt{3}{a}^{3}π}{24}$,
故答案為:$\frac{\sqrt{3}{a}^{3}π}{24}$.

點評 本題綜合考查有關扇形和圓錐的相關計算.解題思路:解決此類問題時要緊緊抓住兩者之間的兩個對應關系:(1)圓錐的母線長等于側(cè)面展開圖的扇形半徑;(2)圓錐的底面周長等于側(cè)面展開圖的扇形弧長,正確對這兩個關系的記憶是解題的關鍵.

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