Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為s_n，且a_n=S_n-1+2（n≥2），a₁=2．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=

1

log2an

，T_n=b_n+1+b_n+2+…+b_2n，是否存在最大的正整數(shù)k，使得對于任意的正整數(shù)n，有T_n＞

k

12

恒成立？
若存在，求出k的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合

專題：計算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）將n換成n-1，兩式相減，運用n=1時，a₁=S₁，n＞1時，a_n=S_n-S_n-1，即可得到數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求出b_n，T_n，T_n+1，作差，判斷{T_n}的單調(diào)性，求出T_n的最小值，令

k

12

小于最小值，即可求出正整數(shù)k的最大值．

解答： 解：（1）由已知a_n=S_n-1+2，①
a_n+1=S_n+2，②
②-①，得a_n+1-a_n=S_n-S_n-1 （n≥2），
∴a_n+1=2a_n （n≥2）．
又a₁=2，∴a₂=a₁+2=4=2a₁，
∴a_n+1=2a_n （n=1，2，3，…）
∴數(shù)列{a_n}是一個以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，
∴a_n=2•2^n-1=2ⁿ．
（2）b_n=

1

log2an

=

1

log22n

=

1

n

，
∴T_n=b_n+1+b_n+2+…+b_2n=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

，
T_n+1=b_n+2+b_n+3+…+b_2（n+1）
=

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

2n

+

1

2n+1

+

1

2n+2

．
∴T_n+1-T_n=

1

2n+1

+

1

2n+2

-

1

n+1

=

2(n+1)+(2n+1)-2(2n+1)

2(2n+1)(n+1)

=

1

2(2n+1)(n+1)

．
∵n是正整數(shù)，∴T_n+1-T_n＞0，即T_n+1＞T_n．
∴數(shù)列{T_n}是一個單調(diào)遞增數(shù)列，
又T₁=b₂=

1

2

，∴T_n≥T₁=

1

2

，
要使T_n＞

k

12

恒成立，則有

1

2

＞

k

12

，即k＜6，
又k是正整數(shù)，故存在最大正整數(shù)k=5使T_n＞

k

12

恒成立．

點評：本題主要考查數(shù)列的通項和求和，考查等比數(shù)列的通項，以及不等式的恒成立問題，判斷數(shù)列的單調(diào)性，注意考慮相鄰兩項的大小，屬于中檔題．