Question

對(duì)于以下命題
①存在α∈(0，

π

2

)，使sinα+cosα=

4

5

②存在區(qū)間（a，b）使y=cosx為減函數(shù)，且sinx＜0
③y=sin(2x-

π

3

)的一條對(duì)稱軸為直線x=-

π

12

④y=cos2x+sin(

π

2

-x)既有最大值、最小值，又是偶函數(shù)
⑤y=sin|2x-

π

6

|的最小正周期為

π

2

以上命題正確的有

③④

（填上所有正確命題的序號(hào)）

Answer 1

分析：對(duì)于①根據(jù)三角函數(shù)的值域范圍判斷正誤；②結(jié)合三角函數(shù)的圖象判斷是否存在（a，b），推出正誤；③將x的值代入，看函數(shù)是否取最值即可，能取到最值就是函數(shù)的對(duì)稱軸，直接判斷正誤；④化簡(jiǎn)函數(shù)表達(dá)式，求其最大值最小值，判斷奇偶性；⑤根據(jù)函數(shù)的周期判斷即可．

解答：解：①因?yàn)棣痢剩?，

π

2

），使得sinα+cosα=

2

sin（α+

π

4

）＞1，所以①錯(cuò)誤；
②通過(guò)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象可知，不存在區(qū)間（a，b）使y=cosx為減函數(shù)而sinx＜0，②錯(cuò)誤．
③當(dāng)x=-

π

12

時(shí)，y=sin（2x-

π

3

）=-1，取得最小值，故直線x=-

π

12

是f（x）的對(duì)稱軸；③正確；
④y=cos2x+sin（

π

2

-x）=cos2x+cosx；既有最大、最小值，又是偶函數(shù)，④正確．
⑤y=sin|2x-

π

6

|它不是周期函數(shù)．⑤不正確，
故答案為：③④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的最值，三角函數(shù)的周期性，三角函數(shù)的單調(diào)性，考查邏輯思維推理計(jì)算能力，掌握三角函數(shù)的基本知識(shí)，是解好三角函數(shù)題目的基礎(chǔ)，考查的知識(shí)點(diǎn)比較多，綜合性比較強(qiáng)，是一道中檔題；