Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2x-3（x＞0），在公差大于0等差數(shù)列{a_n}中，a₁=f（x-1），a₂=-

3

2

，a₃=f（x）．
（1）求x的值及數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（2）令數(shù)列b_n=2ⁿ+a_n．求數(shù)列{b_n}的前n項和．

Answer 1

分析：（1）利用函數(shù)解析式，根據(jù)a₁，a₂，a₃成等差數(shù)列，可求x的值，從而可求數(shù)列的公差，進而可得數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（2）根據(jù)數(shù)列{b_n}的通項，分組求和，即可求數(shù)列{b_n}的前n項和．

解答：解：（1）a1=f(x-1)=x2-4x，a₃=x²-2x-3
由a₁，a₂，a₃成等差數(shù)列，得2a₂=a₁+a₃，
所以x²-4x+x²-2x-3=-3
所以x²-3x=0
又x＞0，所以x=3
所以a₁=-3，a₃=0，所以公差d=

3

2

所以an=-3+(n-1)×

3

2

=

3

2

n-

9

2

；
（2）數(shù)列{b_n}的前n項和

Sn=b1+b2+…+bn=(21+22+…+2n)+(a1+a2+…+an)

=

2(1-2n)

1-2

+

n(-3+ 3 2 n- 9 2 )

2

=2n+1-

3

4

n2-

23

4

．

點評：本題考查數(shù)列與函數(shù)的結(jié)合，考查數(shù)列的通項與求和，正確運用數(shù)列的求和公式是關(guān)鍵．