Question

設(shè)α、β、γ滿足0＜α＜β＜γ＜2π，若函數(shù)f（x）=sin（x+α）+sin（x+β）+sin（x+γ）的圖象是一條與x軸重合的直線，則β-α=

2π

3

．

Answer 1

分析：通過函數(shù)f（x）=sin（x+α）+sin（x+β）+sin（x+γ）的圖象是一條與x軸重合的直線，令x=0與x=

π

2

，列出關(guān)系式，利用兩角差的余弦函數(shù)，求出β-α的值．

解答：解：因為函數(shù)f（x）=sin（x+α）+sin（x+β）+sin（x+γ）的圖象是一條與x軸重合的直線，
所以令x=

π

2

，函數(shù)f（x）=sin（x+α）+sin（x+β）+sin（x+γ）化為 cosα+cosβ+cosγ=0，
令x=0所以 sinα+sinβ+sinγ=0
所以cosβ+cosα=-cosγ
sinβ+sinα=-sinγ
平方  cos²α+cos²β+2cosαcosβ=cos²γ
     sin²β+sin²α+2sinβsinα=sin²γ
所以 2+2sinβsinα+2cosαcosβ=1
所以 cosαcosβ+sinβsinα=-

1

2

，
所以cos（β-α）=-

1

2

．
因為0＜α＜β＜γ＜2π所以  0＜β-α＜2π
所以 β-α=

2π

3

．
故答案為：

2π

3

．

點評：本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的應(yīng)用，考查計算能力．