Question

如果直線y=kx+1與圓x²+y²+kx+my-4=0交于M、N兩點(diǎn)，且M、N關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱，則不等式組：表示的平面區(qū)域的面積是

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   1
4. D.
   2

Answer 1

A
分析：由M與N關(guān)于x+y=0對(duì)稱得到直線y=kx+1與x+y=0垂直，利用兩直線垂直時(shí)斜率的乘積為-1，得到k的值；設(shè)出M與N的坐標(biāo)，然后聯(lián)立y=x+1與圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)韋達(dá)定理得到兩橫坐標(biāo)之和的關(guān)于m的關(guān)系式，再根據(jù)MN的中點(diǎn)在x+y=0上得到兩橫坐標(biāo)之和等于-1，列出關(guān)于m的方程，求出方程的解得到m的值，把k的值和m的值代入不等式組，在數(shù)軸上畫出相應(yīng)的平面區(qū)域，求出面積即可．
解答：解：因?yàn)镸與N關(guān)于x+y=0對(duì)稱，
直線y=kx+1與直線x+y=0垂直得到k=1，
所以直線MN的方程為y=x+1；
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
聯(lián)立直線與圓的方程得，
消去y得2x²+（3+m）x+m-3=0則x₁+x₂=-；
由MN中點(diǎn)在直線x+y=0上，代入得+=0即x₁+x₂+y₁+y₂=0，
又MN的中點(diǎn)在y=x+1上，得y₁=x₁+1，y₂=x₂+1，所以x₁+x₂=-1，
則-=-1，解得m=-1；
所以把k=1，m=-1代入不等式組得，
畫出不等式所表示的平面區(qū)域如圖
△AOB為不等式所表示的平面區(qū)域，聯(lián)立解得B（-，），A（-1，0），
所以S_△AOB=×|-1|×|-|=．
故選A
點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生掌握直線與圓的位置關(guān)系，靈活運(yùn)用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式化簡(jiǎn)求值，會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，是一道中檔題．