Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=2x-2．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）過點（2，2）能作幾條直線與曲線y=f（x）相切？說明理由．

Answer 1

（1）f′（x）=3ax²+b，由題知…（1分）

f′(1)=2 f(1)=2-2=0

?

3a+b=2 a+b=0

?

a=1 b=-1

∴f（x）=x³-x…（5分）
（2）設(shè)過點（2，2）的直線與曲線y=f（x）相切于點（t，f（t）），則切線方程為：y-f（t）=f′（t）（x-t）
即y=（3t²-1）x-2t³…（7分）
由切線過點（2，2）得：2=（3t²-1）•2-2t³，過點（2，2）可作曲線y=f（x）的切線條數(shù)就是方程t³-3t²+2=0的實根個數(shù)…（9分）
令g（t）=t³-3t²+2，則g′（t）=3t（t-2）
由g′（t）=0得t₁=0，t₂=2
當(dāng)t變化時，g（t）、g′（t）的變化如下表

t	（-∞，0）	0	（0，2）	2	（2，+∞）
g′（t）	+	0	-	0	+
g（t）	↗	極大值2	↘	極小值-2	↗

由g（0）•g（2）=-4＜0知，故g（t）=0有三個不同實根可作三條切線…（13分）