Question

已知函數(shù)f（x）=x²-1，g（x）=a|x-1|．
（1）若關(guān)于x的方程|f（x）|=g（x）只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若當(dāng)x∈R時(shí)，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）求函數(shù)h（x）=|f（x）|+g（x）在區(qū)間[-2，2]上的最大值（直接寫(xiě)出結(jié)果，不需給出演算步驟）．

Answer 1

分析：（1）關(guān)于x的方程|f（x）|=g（x）只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，可轉(zhuǎn)化為|x-1|（|x+1|-a）=0只有一個(gè)解，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為|x+1|=a，有且僅有一個(gè)等于1的解或無(wú)解，進(jìn)行判斷得出參數(shù)范圍即可．
（2）根據(jù)自變量的取值范圍進(jìn)行分類(lèi)討論求參數(shù)的范圍即可，此分類(lèi)討論是根據(jù)自變量進(jìn)行分類(lèi)的，故求得的參數(shù)范圍必須求交集教參能滿(mǎn)足恒成立．
（3）將所給的函數(shù)寫(xiě)成分段函數(shù)的形式，在每一段上對(duì)函數(shù)的最值進(jìn)行討論，求出最大值，再比較兩段上的最值得到函數(shù)的最大值，由于參數(shù)的影響，函數(shù)的單調(diào)性不確定，故可以根據(jù)需要分成三段進(jìn)行討論

解答：解：（1）方程|f（x）|=g（x），即|x²-1|=a|x-1|，變形得|x-1|（|x+1|-a）=0，
顯然，x=1已是該方程的根，從而欲原方程只有一解，即要求方程|x+1|=a，
有且僅有一個(gè)等于1的解或無(wú)解，
由此得a＜0．
（2）不等式f（x）≥g（x）對(duì)x∈R恒成立，即（x²-1）≥a|x-1|（*）對(duì)x∈R恒成立，
①當(dāng)x=1時(shí)，（*）顯然成立，此時(shí)a∈R；
②當(dāng)x≠1時(shí)，（*）可變形為a≤

x2-1

|x-1|

，令φ(x)=

x2-1

|x-1|

=

x+1，(x＞1) -(x+1)，(x＜1)

因?yàn)楫?dāng)x＞1時(shí)，φ（x）＞2，當(dāng)x＜1時(shí)，φ（x）＞-2，
所以φ（x）＞-2，故此時(shí)a≤-2．
綜合①②，得所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≤-2．
（3）因?yàn)閔（x）=|f（x）|+g（x）=|x²-1|+a|x-1|=

x2+ax-a-1，(x≥1) -x2-ax+a+1，(-1≤x＜1) x2-ax+a-1，(x＜-1)

（10分）
當(dāng)

a

2

＞1，即a＞2時(shí)，結(jié)合圖形可知h（x）在[-2，1]上遞減，在[1，2]上遞增，
且h（-2）=3a+3，h（2）=a+3，經(jīng)比較，此時(shí)h（x）在[-2，2]上的最大值為3a+3．
當(dāng)0≤

a

2

≤1，即0≤a≤2時(shí)，結(jié)合圖形可知h（x）在[-2，-1]，[-

a

2

，1]上遞減，
在[-1，-

a

2

]，[1，2]上遞增，且h（-2）=3a+3，h（2）=a+3，h(-

a

2

)=

a2

4

+a+1，
經(jīng)比較，知此時(shí)h（x）在[-2，2]上的最大值為3a+3．
當(dāng)-1≤

a

2

＜0，即-2≤a＜0時(shí)，結(jié)合圖形可知h（x）在[-2，-1]，[-

a

2

，1]上遞減，
在[-1，-

a

2

]，[1，2]上遞增，且h（-2）=3a+3，h（2）=a+3，h(-

a

2

)=

a2

4

+a+1，
經(jīng)比較，知此時(shí)h（x）在[-2，2]上的最大值為a+3．
當(dāng)-

3

2

≤

a

2

＜-1，即-3≤a＜-2時(shí)，結(jié)合圖形可知h（x）在[-2，

a

2

]，[1，-

a

2

]上遞減，
在[

a

2

，1]，[-

a

2

，2]上遞增，且h（-2）=3a+3＜0，h（2）=a+3≥0，
經(jīng)比較，知此時(shí)h（x）在[-2，2]上的最大值為a+3．
當(dāng)

a

2

＜-

3

2

，即a＜-3時(shí)，結(jié)合圖形可知h（x）在[-2，1]上遞減，在[1，2]上遞增，
故此時(shí)h（x）在[-2，2]上的最大值為h（1）=0．
綜上所述，當(dāng)a≥0時(shí)，h（x）在[-2，2]上的最大值為3a+3；
當(dāng)-3≤a＜0時(shí)，h（x）在[-2，2]上的最大值為a+3；
當(dāng)a＜-3時(shí)，h（x）在[-2，2]上的最大值為0．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是根據(jù)所給的條件及相關(guān)知識(shí)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行正確轉(zhuǎn)化，本題比較抽象，對(duì)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化尤其顯得重要，本題在求解問(wèn)題時(shí)用到了分類(lèi)討論的思想，轉(zhuǎn)化化歸的思想，數(shù)學(xué)綜合題的求解過(guò)程中，常到到這兩個(gè)思想．