Question

設函數(shù)f（x）=，其中a∈R．
（1）若a=1，f（x）的定義域為區(qū)間[0，3]，求f（x）的最大值和最小值；
（2）若f（x）的定義域為區(qū)間（0，+∞），求a的取值范圍，使f（x）在定義域內是單調減函數(shù)．

Answer 1

解：f（x）===a-，
設x₁，x₂∈R，則f（x₁）-f（x₂）=-
=．
（1）當a=1時，f（x）=1-，設0≤x₁＜x₂≤3，
則f（x₁）-f（x₂）=，
又x₁-x₂＜0，x₁+1＞0，x₂+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，∴f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）在[0，3]上是增函數(shù)，
∴f（x）_max=f（3）=1-=，f（x）_min=f（0）=1-=-1．
（2）設x₁＞x₂＞0，則x₁-x₂＞0，x₁+1＞0，x₂+1＞0．
若使f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，只要f（x₁）-f（x₂）＜0，而f（x₁）-f（x₂）=，
∴當a+1＜0，即a＜-1時，有f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂）．
∴當a＜-1時，f（x）在定義域（0，+∞）內是單調減函數(shù)．
分析：由于本題兩個小題都涉及到函數(shù)的單調性的判斷，故可先設x₁，x₂∈R，得到f（x₁）-f（x₂）差，將其整理成幾個因子的乘積
（1）將a=1的值代入，判斷差的符號得出函數(shù)的單調性，即可確定函數(shù)在區(qū)間[0，3]的最大值，計算出結果即可
（2）由于函數(shù)是定義域（0，+∞）是減函數(shù)，設x₁＞x₂＞0，則有f（x₁）-f（x₂）＜0，由此不等式即可得出參數(shù)的取值范圍．
點評：本題考查函數(shù)單調性的判斷與單調性的性質，解答的關鍵是熟練掌握函數(shù)單調性判斷的方法定義法，本題考查了推理判斷的能力及運算能力，屬于中檔題