Question

如圖，四邊形ABCD為正方形，BE⊥平面ABCD，EB∥FA，F(xiàn)A=AB=．
（I）證明：平面AFD⊥平面AFB；
（II）求異面直線ED與CF所成角的余弦值；
（III）求直線EC與平面BCF所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（I）要證明平面AFD⊥平面AFB，可證AD⊥平面AFB，只需證明AD⊥AB（由已知易證），AD⊥FA（轉(zhuǎn)化為FA⊥平面ABCD即可證得）；
（II）以B為原點，BE，BA，BC分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)EB=2，則AF=AB=1，可求得直線ED的方向向量，直線CF的方向向量為，則直線ED與CF所成的角的余弦值可轉(zhuǎn)化為兩方向向量的夾角余弦值求解；
（III）由（II）可得直線EC的方向向量，及，，設(shè)平面BCF的法向量為=（x，y，z），由法向量的性質(zhì)可求得，則直線EC與平面BCF所成的角的正弦值即為與法向量夾角余弦值的絕對值；
解答：（I）證明：∵四邊形ABCD為正方形，∴AD⊥AB，
∵BE⊥平面ABCD，EB∥FA，
∴FA⊥平面ABCD，∵AD?平面ABCD，∴FA⊥AD，
∵AB，F(xiàn)A?平面AFB，AB∩FA=A，
∴AD⊥平面AFB，∵AD?平面AFD，∴平面AFD⊥平面AFB；
（II）以B為原點，BE，BA，BC分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)EB=2，則AF=AB=1，
故E（2，0，0），D（0，1，1），C（0，0，1），F(xiàn)（1，1，0），B（0，0，0），
∴直線ED的方向向量為=（-2，1，1），直線CF的方向向量為=（1，1，-1），
設(shè)直線ED與CF所成的角為θ，則cosθ=；
（III）直線EC的方向向量為=（-2，0，1），=（0，0，1），=（1，1，0），
設(shè)平面BCF的法向量為=（x，y，z），則
，故，取，則=（1，-1，0），
設(shè)直線EC與平面BCF所成的角為α，則sinα==．
點評：本題考查平面與平面垂直的判定、異面直線所成的角、直線與平面所成的角，考查空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力、空間想象能力及邏輯推理能力．