Question

數(shù)列{a_n}中，a₁=-

2

3

，其通項a_n滿足a_n=-

1

an-1+2

（n≥2）
（1）計算a₁，a₂，a₃，a₄；
（2）猜想a_n的表達式并用數(shù)學歸納法證明．

Answer 1

考點：數(shù)學歸納法,數(shù)列遞推式

專題：綜合題,點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法

分析：（1）利用數(shù)列遞推式，代入計算可得結論；
（2）利用（1）的結論，猜想a_n的表達式，再用數(shù)學歸納法證明．

解答： 解：（1）∵a₁=-

2

3

，a_n=-

1

an-1+2

（n≥2），
∴a₂=-

3

4

，a₃=-

4

5

，a₄=-

5

6

．             …3分
（2）由（1）可以猜想a_n=-

n+1

n+2

．                                    …4分
用數(shù)學歸納法證明：
�。┊攏=1時，a₁=-

2

3

，所以當n=1時猜想成立．             …5分
ⅱ）假設當n=k（k∈N^*）時猜想成立，即a_k=-

k+1

k+2

，
當n=k+1時，a_k+1=-

1

- k+1 k+2 +2

=-

k+2

k+3

所以當n=k+1時猜想也成立．
由ⅰ）和ⅱ）可知，猜想對任意的n∈N^*都成立．                   
所以a_n=-

n+1

n+2

．…8分

點評：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列的通項，考查數(shù)學歸納法，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．