Question

在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別為A₁D₁和CC₁的中點
（1）求證：EF∥平面A₁C₁B；
（2）求異面直線EF與AB所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）建立坐標系，取BC₁中點G，證明

EF

與

A1G

共線，可得EF∥A₁G，即可證明EF∥平面A₁C₁B；
（2）求出兩異面直線的方向向量，用數(shù)量積公式求夾角余弦即可．

解答：（1）證明：如圖分別以DA、DC、DD₁所在的直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系D-xyz，由已知得D（0，0，0）、A₁（2，0，2）、B（2，2，0）、A（2，0，0）、C（0，2，0）、C₁（0，2，2）、D₁（0，0，2）、E（1，0，2）、F（0，2，1）．
取BC₁中點G，則G（1，2，1），

A1G

=（-1，2，-1），
又

EF

=（-1，2，-1），∴

EF

=

A1G

，
∴

EF

與

A1G

共線，∴EF∥A₁G，
∵A₁G?平面A₁C₁B，EF?平面A₁C₁B，
∴EF∥平面A₁C₁B；
（2）解：∵

AB

=（0，2，0），

EF

=（-1，2，-1），
∴cos＜

EF

，

AB

＞=

AB • EF

| AB || EF |

=

4

2 6

=

6

3

∴異面直線EF與AB所成角的余弦值為

6

3

．

點評：本題考查用向量法證明線面平行，求異面直線所成的角，用向量方法解決立體幾何中的位置關(guān)系、夾角及距離問題是空間向量的一個重要運用，學習時注意總結(jié)向量法解立體幾何題的規(guī)律，此方法也是近幾年高考比較熱的一個考點．