Question

已知拋物線C：y=－x²+mx－1和點A(3，0)，B(0，3)，求拋物線C與線段AB有兩個不同交點的充要條件。

Answer 1

拋物線y=－x²+mx－1和線段AB有兩個不同交點的充要條件是3＜m≤

解析:

①必要性：

由已知得，線段AB的方程為y=－x+3(0≤x≤3)

由于拋物線C和線段AB有兩個不同的交點，

所以方程組^*有兩個不同的實數解。

消元得：x²－(m+1)x+4=0(0≤x≤3)

設f(x)=x²－(m+1)x+4,則有

　　

②充分性：

當3＜x≤時，

x₁=>0

∴方程x²－(m+1)x+4=0有兩個不等的實根x₁,x₂,且0＜x₁＜x₂≤3,方程組*有兩組不同的實數解。

因此，拋物線y=－x²+mx－1和線段AB有兩個不同交點的充要條件是3＜m≤。