Question

已知△ABC中，BC=3，AC=4，AB=5，點(diǎn)P是三條邊上的任意一點(diǎn)，m=

PA

•

PB

，則m的最小值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：由已知條件得△ABC為直角三角形，當(dāng)P點(diǎn)和A，B，C三點(diǎn)重合時(shí)，容易求出m=0．當(dāng)P點(diǎn)在BC邊上，且不與B，C重合時(shí)，設(shè)

PB

=x

CB

，

PA

=

PB

+

BA

=x

CB

+

CA

-

CB

=(x-1)

CB

+

CA

，所以m=

PA

•

PB

=x

CB

•[(x-1)

CB

+

CA

]=9x(x-1)=9[(x-

1

2

)2-

1

4

]≥-

9

4

，即此時(shí)m的最小值是-

9

4

，用同樣的方法求P點(diǎn)在另外兩邊時(shí)m的最小值，找出最小的m即可．

解答： 解：由三條邊的長(zhǎng)度知，△ABC為直角三角形，如圖所示，容易求得當(dāng)P點(diǎn)在A，B，C三點(diǎn)時(shí)，m=

PA

•

PB

=0；
當(dāng)點(diǎn)P在B，C點(diǎn)之間時(shí)，設(shè)

PB

=x

CB

，

PA

=

PB

+

BA

=x

CB

+

CA

-

CB

=(x-1)

CB

+

CA

；
∴m=

PA

•

PB

=x

CB

•[(x-1)

CB

+

CA

]=x(x-1)

CB

2=9[(x-

1

2

)2-

1

4

]≥-

1

4

；
當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A，C之間時(shí)，設(shè)

PA

=x

CA

，

PB

=

PA

+

AB

=x

CA

+

CB

-

CA

=(x-1)

CA

+

CB

；
∴m=

PA

•

PB

=x

CA

•[(x-1)

CA

+

CB

]=x(x-1)

CA

2=16[(x-

1

2

)2-

1

4

]≥-4；
當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A，B之間時(shí)，設(shè)

PA

=x

BA

，則

PB

=-(1-x)

BA

；
∴m=

PA

•

PB

=x(x-1)

BA

2=25[(x-

1

2

)2-

1

4

]≥-

25

4

；
綜上得m的最小值為-

25

4

．
故答案為：-

25

4

．

點(diǎn)評(píng)：考查兩向量垂直時(shí)，數(shù)量積為0，共線向量基本定理，向量的加法，向量的減法，配方法求二次函數(shù)的最小值．