Question

（2009北京卷文）（本小題共14分）

如圖，四棱錐的底面是正方形，，點(diǎn)E在棱PB上.

（Ⅰ）求證：平面；   

（Ⅱ）當(dāng)且E為PB的中點(diǎn)時(shí)，求AE與

平面PDB所成的角的大小.

Answer 1

【解法1】本題主要考查直線和平面垂直、平面與平面垂直、直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力．

（Ⅰ）∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，

∵，

∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB，

∴平面.

（Ⅱ）設(shè)AC∩BD=O，連接OE，

      由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，

      ∴∠AEO為AE與平面PDB所的角，

      ∴O，E分別為DB、PB的中點(diǎn)，

      ∴OE//PD，，又∵，

      ∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，

      在Rt△AOE中，，

            ∴，即AE與平面PDB所成的角的大小為.

【解法2】如圖，以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

              設(shè)

則，

（Ⅰ）∵，

∴，

∴AC⊥DP，AC⊥DB，∴AC⊥平面PDB，

∴平面.

（Ⅱ）當(dāng)且E為PB的中點(diǎn)時(shí)，，

   設(shè)AC∩BD=O，連接OE，

 由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，

   ∴∠AEO為AE與平面PDB所的角，

  ∵，

∴，

∴，即AE與平面PDB所成的角的大小為.