Question

記具有如下性質(zhì)的函數(shù)的集合為M：對(duì)任意的x₁、x₂∈R，若x₁²＜x₂²，則f（x₁）＜f（x₂），現(xiàn)給定函數(shù)
①f（x）=x⁴+x²+1，②f（x）=x³+x²+1，③f（x）=1-x²，④f（x）=x²+2^|x|．
則上述函數(shù)中，屬于集合M的函數(shù)序號(hào)是

 

．

Answer 1

分析：由已知中函數(shù)的集合為M：對(duì)任意的x₁、x₂∈R，若x₁²＜x₂²，則f（x₁）＜f（x₂），我們可得滿足條件的函數(shù)在區(qū)間（-∞，0）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，逐一分析題目中四個(gè)函數(shù)的單調(diào)性，比照后，即可得到答案．

解答：解：對(duì)任意的x₁、x₂∈R，若x₁²＜x₂²，則f（x₁）＜f（x₂），
則函數(shù)在區(qū)間（-∞，0）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增
①中，由f（x）=x⁴+x²+1，得f′（x）=4x³+2x，當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，故①中函數(shù)符合條件；
②中，由f（x）=x³+x²+1，得f′（x）=3x²+2x，當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，f′（x）符號(hào)不確定，故②中函數(shù)不符合條件；
③中，由f（x）=1-x²，得f′（x）=-2x，當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，f′（x）＞0，故③中函數(shù)不符合條件；
④f（x）=x²+2^|x|，當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）=x²+2^x為增函數(shù)，當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，f（x）=x²+

1

2

^x為減函數(shù)，故④中函數(shù)符合條件；
故答案為：①④

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是元素與集合關(guān)系的判斷，其中正確理解集合中元素所滿足的性質(zhì)，并將其轉(zhuǎn)化為熟知的性質(zhì)，如本題中將對(duì)任意的x₁、x₂∈R，若x₁²＜x₂²，則f（x₁）＜f（x₂），轉(zhuǎn)化為函數(shù)在區(qū)間（-∞，0）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，是解答本題的關(guān)鍵．