設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根為Sn－1，n＝1，2，3…．

(1)求a1，a2；

(2)求{an}的通項公式．

答案：
解析：

　　解析：(1)當n＝1時，x2－a1x－a1＝0有一根為S1－1＝a1－1，

　　于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，

　　解得a1＝．

　　當n＝2時，x2－a2x－a2＝0

　　有一根為S2－1＝a2，

　　于是(a2)2－a2(a2)－a2＝0，

　　解得a2＝．

　　(2)由題設(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，

　　即Sn2－2Sn＋1－anSn＝0．

　　當n≥2時，an＝Sn－Sn－1，代入上式得

　　Sn－1Sn－2Sn＋1＝0　�、�

　　由(1)知S1＝a1＝，

　　S2＝a1＋a2＝＋＝．

　　由①可得S3＝．

　　由此猜想Sn＝，n＝1，2，3，…．

　　下面用數(shù)學歸納法證明這個結(jié)論．

　　(ⅰ)n＝1時已知結(jié)論成立．

　　(ⅱ)假設n＝k時結(jié)論成立，即Sk＝，

　　當n＝k＋1時，由①得Sk+1＝，

　　即Sk+1＝．

　　故n＝k＋1時結(jié)論也成立．

　　綜上，由(ⅰ)(ⅱ)可知Sn＝對所有正整數(shù)n都成立．

　　于是當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝－＝．又n＝1時，a1＝＝，

　　所以{an}的通項公式為an＝，n＝1，2，3，…．


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設數(shù)列{an}的前n項的和為Sn，且Sn=3n+1．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）設bn=an（2n-1），求數(shù)列{bn}的前n項的和．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設數(shù)列an的前n項的和為Sn，a1=
3
2
，Sn=2an+1-3．
（1）求a2，a3；
（2）求數(shù)列an的通項公式；
（3）設bn=(2log
3
2
an+1)•an，求數(shù)列bn的前n項的和Tn．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設數(shù)列{an}的前n項和Sn=2an+
3
2
×（-1）n-
1
2
，n∈N*．
（Ⅰ）求an和an-1的關系式；
（Ⅱ）求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅲ）證明：
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
＜
10
9
，n∈N*．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

不等式組
x≥0
y≥0
nx+y≤4n
所表示的平面區(qū)域為Dn，若Dn內(nèi)的整點（整點即橫坐標和縱坐標均為整數(shù)的點）個數(shù)為an（n∈N*）
（1）寫出an+1與an的關系（只需給出結(jié)果，不需要過程），
（2）求數(shù)列{an}的通項公式；
（3）設數(shù)列an的前n項和為Sn且Tn=
Sn
5•2n
，若對一切的正整數(shù)n，總有Tn≤m成立，求m的范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•鄭州一模）設數(shù)列{an}的前n項和Sn=2n-1，則
S4
a3
的值為（　�。�

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