Question

已知函數(shù)f（x）=mx+3，g（x）=x²+2x+m，
（1）求證：函數(shù)f（x）-g（x）必有零點(diǎn)；
（2）設(shè)函數(shù)G（x）=f（x）-g（x）-1，若|G（x）|在[-1，0]上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

（1）證明∵f（x）-g（x）=-x²+（m-2）x+3-m
又∵f（x）-g（x）=-x²+（m-2）x+3-m=0時(shí)，
則△=（m-2）²-4（m-3）=（m-4）²≥0恒成立，
所以方程f（x）-g（x）=-x²+（m-2）x+3-m=0有解
函數(shù)f（x）-g（x）必有零點(diǎn)
（2）G（x）=f（x）-g（x）-1=-x²+（m-2）x+2-m
①令G（x）=0則△=（m-2）²-4（m-2）=（m-2）（m-6）
當(dāng)△≤0，2≤m≤6時(shí)G（x）=-x²+（m-2）x+2-m≤0恒成立
所以，|G（x）|=x²+（2-m）x+m-2，在[-1，0]上是減函數(shù)，則2≤m≤6
②△＞0，m＜2，m＞6時(shí)|G（x）|=|x²+（2-m）x+m-2|
因?yàn)閨G（x）|在[-1，0]上是減函數(shù)
所以方程x²+（2-m）x+m-2=0的兩根均大于0得到m＞6
或者一根大于0而另一根小于0且x=

m-2

2

≤-1，得到m≤0
綜合①②得到m的取值范圍是（-∞，0]∪[2，+∞）．