Question

關(guān)于x的方程x²-（2+i）x-2ab+（a+b）i=0（a、b∈R）有實(shí)數(shù)解
（1）求a、b取值范圍
（2）求實(shí)根的最大值與最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)數(shù)相等的充要條件

專(zhuān)題：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)

分析：（1）由關(guān)于x的方程x²-（2+i）x-2ab+（a+b）i=0（a、b∈R）即x²-2x-2ab+（a+b-x）i=0有實(shí)數(shù)解，可得x²-2x-2ab=a+b-x=0，化為（a-1）²+（b-1）²=2．
令a=1+

2

cosθ，b=1+

2

sinθ，θ∈[0，2π）．即可得出．．
（2）由于x=a+b=2+2sin(θ+

π

4

)∈[0，4]，即可得出．

解答： 解：（1）∵關(guān)于x的方程x²-（2+i）x-2ab+（a+b）i=0（a、b∈R）即x²-2x-2ab+（a+b-x）i=0有實(shí)數(shù)解，
∴x²-2x-2ab=a+b-x=0，
∴（a+b）²-2（a+b）-2ab=0，
化為a²+b²-2a-2b=0，即（a-1）²+（b-1）²=2．
令a=1+

2

cosθ，b=1+

2

sinθ，θ∈[0，2π）．
∴a，b∈[1-

2

，1+

2

]．
（2）x=a+b=2+2sin(θ+

π

4

)∈[0，4]，
∴實(shí)根的最大值與最小值分別為4，0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、復(fù)數(shù)相等、三角函數(shù)的值域、兩角和差的正弦公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．