Question

已知命題p：方程ax²+2x+1=0至少有一負根；命題q：任意實數(shù)x∈R滿足不等式x²+2ax+1≥0，
（1）求命題p中a的范圍   
（2）若命題“p或q”為真，命題“p且q”為假時，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）首先我們要分析當a=0時，方程是否有負根，再分析當a≠0時，方程存在負根的情況，綜合即可得到結(jié)論．
（2）求出命題q是真命題的條件，然后根據(jù)已知p或q是真命題，p且q是假命題，則命題p和q必為一真一假，從而可求實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）當a=0時，方程ax² +2x+1=0可化為方程2x+1=0，方程存在一個負根
當a≠0時，若關(guān)于x的二次方程ax² +2x+1=0有根
則△=4-4a≥0，即a≤1
若方程ax² +2x+1=0無負根則x₁ +x₂ =-

2

a

≥0，x₁•x₂ =

1

a

≥0，這種情況不存在
故關(guān)于x的方程ax² +2x+1=0，至少有一個負根的充要條件是a≤1
（2）∵任意實數(shù)x∈R滿足不等式x²+2ax+1≥0，
∴△=4a²-4≤0
∴-1≤a≤1
若命題“p或q”為真，命題“p且q”為假時，則p、q一真一假
①p真q假，

a≤1 a＜-1或a＞1

，∴a＜-1
②p假q真，

a＞1 -1≤a≤1

，∴a不存在
綜上知，a＜-1

點評：此題主要考查命題的真假性問題，其中涉及到一元二次方程根的分布和判別式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題目．