Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線(xiàn)與圓O：相切．

（1）直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)(2，1)且截圓O所得的弦長(zhǎng)為，求直線(xiàn)l的方程；

（2）已知直線(xiàn)y＝3與圓O交于A，B兩點(diǎn)，P是圓上異于A，B的任意一點(diǎn)，且直線(xiàn)AP，BP與y軸相交于M，N點(diǎn)．判斷點(diǎn)M、N的縱坐標(biāo)之積是否為定值?若是，求出該定值；若不是，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）見(jiàn)解析.

【解析】

（1）記圓心到直線(xiàn)l的距離為d，利用垂徑定理求得d．當(dāng)直線(xiàn)l與x軸垂直時(shí)，直線(xiàn)l的方程為x=2，滿(mǎn)足題意；當(dāng)直線(xiàn)l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l的方程為y﹣1=k（x﹣2），利用圓心到直線(xiàn)的距離列式求得k，則直線(xiàn)方程可求；

（2）設(shè)P（x1，y1），由直線(xiàn)y=3與圓O交于A、B兩點(diǎn)，不妨取A（1，3），B（﹣1，3），分別求出直線(xiàn)PA、PB的方程，進(jìn)一步得到M，N的坐標(biāo)，由P在圓上，整體運(yùn)算可得為定值．

∵直線(xiàn)x﹣3y﹣10=0與圓O：x2+y2=r2（r＞0）相切，

∴圓心O到直線(xiàn)x﹣3y﹣10=0的距離為r=．

（1）記圓心到直線(xiàn)l的距離為d，∴d=．

當(dāng)直線(xiàn)l與x軸垂直時(shí)，直線(xiàn)l的方程為x=2，滿(mǎn)足題意；

當(dāng)直線(xiàn)l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l的方程為y﹣1=k（x﹣2），即kx﹣y+（1﹣2k）=0．

∴，解得k=﹣，此時(shí)直線(xiàn)l的方程為3x+4y﹣10=0．

綜上，直線(xiàn)l的方程為x=2或3x+4y﹣10=0；

（2）點(diǎn)M、N的縱坐標(biāo)之積為定值10．

設(shè)P（x1，y1），

∵直線(xiàn)y=3與圓O交于A、B兩點(diǎn)，不妨取A（1，3），B（﹣1，3），

∴直線(xiàn)PA、PB的方程分別為y﹣3=，y﹣3=．

令x=0，得M（0，），N（0，），

則（*）．

∵點(diǎn)P（x1，y1）在圓C上，∴，即，

代入（*）式，得為定值．