Question

如圖，已知橢圓內(nèi)有一點M，過M作兩條動直線AC、BD分別交橢圓于A、C和B、D兩點，若．

（1）證明：AC⊥BD；
（2）若M點恰好為橢圓中心O
（i）四邊形ABCD是否存在內(nèi)切圓？若存在，求其內(nèi)切圓方程；若不存在，請說明理由．
（ii）求弦AB長的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)出點的坐標(biāo)，利用，即可證得，從而AC⊥BD；
（2）（i）根據(jù)AC⊥BD，由橢圓對稱性知AC與BD互相平分，所以四邊形ABCD是菱形，它存在內(nèi)切圓，設(shè)直線AB方程為：y=kx+m，利用圓心到直線的距離，可得；聯(lián)立 ，利用OA⊥OB，可得，從而可求內(nèi)切圓的方程；
（ii）求出弦AB的長=，令3m²-1=t，則，所以根據(jù)，即可求得弦AB長的最小值．
解答：（1）證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）
由知
展開整理得：x₁x₂+y₁y₂+x₃x₄+y₃y₄=x₂x₃+y₂y₃+x₁x₄+y₁y₄
即x₁（x₂-x₄）+x₃（x₄-x₂）+y₁（y₂-y₄）+y₃（y₄-y₂）=0
∴（x₁-x₃）（x₂-x₄）+（y₁-y₃）（y₂-y₄）=0
即，
∴AC⊥BD…．（4分）
（2）解：（i）∵AC⊥BD，由橢圓對稱性知AC與BD互相平分，
∴四邊形ABCD是菱形，它存在內(nèi)切圓，圓心為O，設(shè)半徑為r，直線AB方程為：y=kx+m
則，即①
聯(lián)立 得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0
∴
由（1）知OA⊥OB，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，即x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=0
∴
∴
∴2m²-2+2m²k²-2k²-4k²m²+m²+2m²k²=0
∴②
②代入①有：
∴存在內(nèi)切圓，其方程為：…．（9分）
容易驗證，當(dāng)k不存在時，上述結(jié)論仍成立．
（ii）
∵
∴=
令3m²-1=t，則
∴
∵，∴，故t≥1，∴
當(dāng)時，，此時
容易驗證，當(dāng)k不存在時，…．（13分）
點評：本題以橢圓方程為載體，考查向量知識的運用，考查橢圓與圓的綜合，考查圓中的弦長的求解，挖掘隱含，熟練計算是關(guān)鍵．